Dirichlet uždavinys

Dirichlet uždavinys (Dirichl uždavinỹs), rasti funkciją u(x, y, z), harmoninę srityje τ, apribotoje paviršiumi σ, tolydžią uždaroje srityje τ + σ, o paviršiaus σ taškuose (ξ, η, ζ) – lygią turimai tame paviršiuje tolydžiajai funkcijai f(ξ, η, ζ): u(ξ, η, ζ) = f(ξ, η, ζ), (ξ, η, ζ)σ. Dirichlet uždavinio sąlygas tenkina stacionari temperatūra vienalyčiame kūne τ, jei jo paviršiaus σ taškuose palaikoma temperatūra f(ξ, η, ζ). Atskiras atvejis yra Dirichlet uždavinys plokštumoje. Pvz., Dirichlet uždavinys skritulyje (polinės koordinatės r ir φ): rasti funkciją u(r, φ), harmoninę skritulyje r < R, tolydžią uždarame skritulyje r ≤ R ir tenkinančią kraštinę sąlygą u(R, φ) = f(φ). Šio Dirichlet uždavinio sprendinys: u(r,φ) = $\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi }}{\int }}f(\vartheta )\frac{R^2-r^2}{R^2-2\mathit{Rr}(\vartheta -\phi )+r^2}\mathrm{d}\phi$, r < R.