ortogonalióji fùnkcijų sistemà, kvadratu integruojamų funkcijų aibė, kurios elementai poromis yra ortogonalūs vienas kito atžvilgiu. Pvz., aibėje X su matu μ apibrėžtų ir Banacho erdvei L2(X, μ) su skaliarine sandauga ( ·, · ) priklausančių funkcijų aibė {φk : k = 1, 2,…} yra ortogonalioji funkcijų sistema, jei (φk, φl) = 0, kai k  l ir (φk, φk) = λk > 0 kiekvienam k. Jei λk = 1 visiems k, tai sistema vadinama ortonormuota. Ortogonalioji funkcijų sistema {φk : k = 1, 2,…} vadinama pilnąja, jei kiekvienai L2(X, μ) erdvės funkcijai f egzistuoja tokia skaičių aibė {ck : k = 1, 2,…}, kurios funkcijų eilutė Σkckφk konverguoja erdvėje L2(X, μ) ir jos suma yra funkcija f. Sakoma, kad eilutė Σkckφk yra funkcijos f skleidinys Fourier eilute sistemos {φk : k = 1, 2,…} atžvilgiu, o skaičiai ck = (f, φk), kiekvienam k, vadinami Fourier eilutės koeficientais. Trigonometrinių funkcijų aibė {1/2, sin(kt), cos(kt) : k = 1, 2,…}, apibrėžtų intervale X = [0,2π] su Lebesgue’o matu λ, yra ortonormuota funkcijų sistema erdvėje L2([0,2π], λ). Funkcijų skleidinys gaunamas naudojant trigonometrinių funkcijų ortogonaliąją sistemą yra klasikinė Fourier eilutė. Kai kuriuos ortogonaliosios funkcijų sistemos atvejus pradėjo naudoti L. Euleris 18 amžiaus pabaigoje. 19 amžiuje ortogonaliųjų funkcijų sistemas nagrinėjo F. W. Besselis, G. Lamé, P. S. de Laplace’as, É. L. Mathieu (visi Prancūzija), 1896 A. Liapunovas (Rusija) įrodė trigonometrinių funkcijų uždarumą.

1751