analizinė funkcija

analzinė fùnkcija, funkcija, kuri gali būti išreikšta laipsnine eilute. Analizinių funkcijų klasei priklauso elementariosios ir specialiosios funkcijos. Funkcija f(z), apibrėžta kompleksinės plokštumos srityje D, vadinama vienareikšme analizine funkcija (holomorfine funkcija) srities D taške z₀, jeigu tam tikroje taško z₀ aplinkoje (t. y. skritulyje su centru taške z₀) funkcija f(z) yra lygi laipsninės eilutės sumai: f(z) = a₀ + a₁(z – z₀) + a₂(z – z₀)² + … + a_n(z – z₀)ⁿ + … Funkcija vadinama analizine srityje D, jei ji yra analizinė kiekviename tos srities taške. Kad funkcija būtų analizinė srityje D, būtina ir pakanka, jei ji kiekviename šios srities taške turi baigtinę išvestinę. Dėl to kartais analizinė funkcija srityje D yra apibrėžiama kaip funkcija, turinti kiekviename srities D taške baigtinę išvestinę, o analizinė funkcija taške z₀ – kaip funkcija, turinti baigtinę išvestinę kokioje nors taško z₀ aplinkoje (į šią aplinką įskaitant ir tašką z₀). Analizinės funkcijos teorijoje svarbi vienaties teorema: jei dvi analizinės funkcijos srityje D yra lygios aibėje taškų, turinčių ribinį tašką srities D viduje, tai funkcijos yra lygios visuose srities D taškuose. Teorijos pagrindu laikoma integralinė Cauchy teorema: jei funkcija yra analizinė srityje D, kurios kontūras Γ yra tolydžioji baigtinio ilgio uždara kreivė, ir tolydi aibėje D ∪ Γ, tai $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)\mathrm{d}z=0$. Analizinę funkciją galima išreikšti integraline Cauchy formule: jei f(z) yra analizinė srityje D, o γ – kokia nors tolydžioji uždara baigtinio ilgio savęs nekertanti kreivė srityje D, tai $f(z)=\frac{1}{2\mathrm{\pi }i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(t)}{t-z}\mathrm{d}t$. Tarkime, E yra bet kokia kompleksinės plokštumos taškų aibė (nebūtinai sritis; pvz., E gali būti visų realiosios ašies taškų aibė). Funkcija f(z), apibrėžta aibėje E ir nagrinėjama kaip aibės E taškų funkcija, yra laikoma analizine aibėje E, jei kiekvienam aibės E taškui egzistuoja tokia to taško aplinka, kurios sankirtoje su aibe E funkciją galima išreikšti laipsnine eilute. Jei D ir D¹ yra dvi kompleksinės plokštumos sritys, turinčios bendrų taškų, tai analizinės srityje D funkcijos f(z) analiziniu tęsiniu į sritį D¹ yra vadinama tokia analizinė srityje D¹ funkcija, kuri kokioje nors sankirtos D ∩ D¹ dalinėje srityje sutampa su funkcija f(z). Funkcija f(z) su savo analiziniu tęsiniu sudaro analizinę funkciją, apibrėžtą didesnėje už D srityje D ∪ D¹. Jei sričių D ir D¹ sankirta yra sudaryta iš kelių susijusių dalių, tai srityje D ∪ D¹ apibrėžta analizinė funkcija, gauta analiziškai pratęsus funkciją f(z), gali būti daugiareikšmė. Iš funkcijos f(z) tęsinių gali būti sudarytos naujos funkcijos, t. p. vadinamos f(z) analiziniais tęsiniais. Visi galimi f(z) analiziniai tęsiniai sudaro pilnąją analizinę funkciją. Daugiareikšmė pilnoji analizinė funkcija gali būti nagrinėjama kaip vienareikšmė analizinė funkcija Riemanno paviršiuje.

Analizinių funkcijų teorija sukurta 19 a. iš A.‑L. Cauchy, B. Riemanno, K. Weierstrasso darbų. Jos raidą greitino kompleksinės srities sąvokos įvedimas, t. y. perėjimas nuo realiojo kintamojo x prie kompleksinio kintamojo z = x + iy. A.‑L. Cauchy sukurtos analizinių funkcijų teorijos išeities tašku buvo monogeniškumo sąvoka. Funkciją f jis vadino monogenine srityje D, jeigu ji toje srityje, išskyrus galbūt polius, turi vienareikšmę tolydžiąją išvestinę. Monogeninė funkcija pagal A.‑L. Cauchy yra analizinė funkcija pagal K. Weierstrassą ir atvirkščiai. A.‑L. Cauchy išplėtojo analizinių funkcijų integravimo teoriją, įrodęs svarbias reziduumų bei Cauchy integralinę teoremas. B. Riemannui analizinės funkcijos srityje D tam tikrais atvejais yra konforminis tos srities atvaizdis į kitos kompleksinės plokštumos sritį. Analizinių funkcijų ir konforminių atvaizdžių sąryšis padėjo išspręsti daugelį matematikos ir fizikos lygčių.