diferencialo geometrinė prasmė

diferenciãlas (lot. differens – besiskiriąs, skirtingas), funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (ab), vadinama diferencijuojamąja taške x ∈ (ab), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) – f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A – skaičius, nepriklausantis nuo Δx. Pirmasis dėmuo AΔx yra tos pačios eilės nykstamasis dydis kaip ir Δx, kai Δx → 0. Antrasis dėmuo o(Δx), palyginti su Δx, yra aukštesnės eilės nykstamasis dydis. Taigi, kai A ≠ 0, pirmasis dėmuo AΔx yra diferencijuojamosios funkcijos pokyčio pagrindinė dalis. Jis vadinamas funkcijos diferencialu taške x, atitinkančiu pokytį Δx, ir žymimas dy, arba df(x), arba df. Kai A = 0, diferencialas laikomas lygiu nuliui. Funkcija f(x) diferencijuojama taške x tada ir tik tada, kai egzistuoja funkcijos f(x) išvestinė f′(x). Tada df(x) = f′(x)dx. Nepriklausomojo kintamojo x pokytis Δx vadinamas jo diferencialu ir žymimas dx, t. y. Δx = dx, o df(x) = f′(x)dx. Funkcijų diferencialai randami remiantis išvestinių skaičiavimu. Pvz., dxn = nxn–1dx, dsinx = cosxdx, d(u(x) + v(x)) = du(x) + dv(x), d(u(x) · v(x)) = v(x)du(x) + u(x)dv(x). Funkcijos diferencialas turi paprastą geometrinę prasmę. Kreivės y = f(x) taškas M atitinka argumento reikšmę x, taškas P argumento reikšmę x + Δx, o MS yra tos kreivės liestinė taške M. Atkarpa MN – lygiagreti su x ašimi, NP – lygiagreti su y ašimi, o Q yra liestinės MS ir atkarpos PN sankirtos taškas. Pagal išvestinės geometrinę prasmę tanα = f′(x), todėl funkcijos diferencialas dy lygus atkarpos NQ didumui. Taigi funkcijos y = f(x) diferencialas taške x lygus grafiko liestinės taške (xf(x)) ordinatės pokyčiui. Kelių kintamųjų funkcija f(x1x2, …, xn), apibrėžta n‑matės erdvės srityje X, vadinama diferencijuojamąja tos srities vidiniame taške (x1x2, …, xn), jeigu jos pilnąjį pokytį tame taške Δf = f(x1 + Δx1x2 + Δx2, …, xn + Δxn) – f(x1x2, …, xn) galima išreikšti lygybe Δf = A1Δx1 + A2Δx2 + … + AnΔxn + α1Δx1 + α2Δx2 + … + αnΔxn; čia A1A2, …, An – skaičiai, nepriklausomi nuo Δx1, Δx2, …, Δxn, o α1, α2, …, αn – nykstamieji dydžiai, kai Δ1x → 0, Δx2 → 0, …, Δxn → 0. Šiuo atveju funkcijos f diferencialu df taške (x1x2, …, xn) vadinama Δf pagrindinė tiesinė dalis df = A1Δx1 + A2Δx2 + … + AnΔxn. Jei funkcija f diferencijuojama taške (x1x2, …, xn), tai šiame taške egzistuoja baigtinės dalinės išvestinės, ir f x 1 = A 1 {∂f} over {∂ x_{1}}`=` A_{1} , f x 2 = A 2 {∂f} over {∂ x_{2}}`=` A_{2} , …, f x n = A n {∂f} over {∂ x_{n}}`=` A_{n} , o df =  f x 1 {∂f} over {∂ x_{1}} dx1 +  f x 2 {∂f} over {∂ x_{2}} dx2 + … +  f x n {∂f} over {∂ x_{n}} dxn; čia dx1 = Δx1, dx2 = Δx2, …, dxn = Δxn · n kintamųjų funkcija (kai n > 1) gali kuriame nors taške turėti visas baigtines pirmosios eilės dalines išvestines, bet nebūti diferencijuojama tame taške. Jeigu visos dalinės išvestinės yra tolydžios, funkcija yra diferencijuojamoji.

62