apibendrintoji išvestinė

apibeñdrintoji išvestnė, tarkime, u, v – lokaliai integruojamos srityje Ω ⊂ Rⁿ funkcijos, α = (α₁, α₂, …, α_n), α₁, …, α_n – sveikieji neneigiami skaičiai |α| = $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i$. Jeigu su bet kokia be galo diferencijuojamąja srityje Ω funkcija η yra teisinga integralinė tapatybė $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }$uD^αηdx = (–1)^|α|$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }$νηdx, tai funkcija v yra vadinama funkcijos u apibendrintoji išvestinė ir žymima v = D^αu. Kai |α| = 1, gauname pirmosios eilės apibendrintąsias išvestines, kai |α| = 2 – antrosios eilės apibendrintąsias išvestines ir t. t. Esminis apibendrintosios išvestinės ir klasikinės išvestinės skirtumas yra tas, kad apibendrintoji išvestinė turi integralinį pobūdį. Kai n = 1, pirmos eilės apibendrintosios išvestinės egzistavimas glaudžiai susijęs su absoliučiojo tolydumo sąvoka. Jeigu funkcija u yra absoliučiai tolydi segmente [a, b], tai intervale (a, b) ji turi integruojamą apibendrintąją išvestinę ir, atvirkščiai, jeigu intervale (a, b) egzistuoja funkcijos u pirmosios eilės integruojama apibendrintoji išvestinė, tai ji yra absoliučiai tolydi segmente [a, b]. Apibendrintosios išvestinės yra klasikinės išvestinės apibendrinimas kai kurioms nediferencijuojamų funkcijų klasėms. Apibrėžimą sukūrė rusų matematikas S. Sobolevas.

234