baigtiniai skirtumai

baigtniai skrtumai, funkcijos pokyčiai, kai jos argumentas kinta diskrečiai. Funkcijos f(x) pirmosios eilės baigtiniu skirtumu vadinamas jos pokytis Δf(x) = f(x + h) – f(x), kai h pastovus. Analogiškai apibrėžiamas antrosios eilės baigtinis skirtumas: Δ²f(x) = Δf(x + h) – Δf(x) = f(x + 2h) – 2f(x + h) + f(x), …; n eilės baigtinis skirtumas: ${\mathrm{\Delta }}^{n}f(x)=\sum _{k=0}^n{(-1)}^n{C}_n^k\cdot f(x+(n-k)h)$; čia $C_n^k$ – derinių skaičius. Neribotai mažinant h iš funkcijos baigtinių skirtumų galima gauti tos funkcijos atitinkamos eilės išvestinę (jei ji egzistuoja): $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}^{n}f(x)}{h^n}=\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{n}}f(x)}{\mathrm{d}{x}^n}$. Lygtys, kuriose yra baigtiniai skirtumai, vadinamos skirtuminėmis lygtimis. Jų bendrasis pavidalas F(x, f(x), Δf(x), …, Δⁿf(x)) = 0, arba (atitinkamai pertvarkius) F₁(x, f(x), f(x + h), …, f(x + nh)) = 0; pastarojo pavidalo skirtuminės lygtys yra analogiškos diferencialinėms lygtims. Paprasčiausios iš jų Δf(x) = φ(x) sprendinys $f(x_0+\mathit{nh})=f(x_0)+\sum _{k=0}^n\phi (x_0+\mathit{kh})$ analogiškas integralui. Tiesinės homogeninės skirtuminės lygties su pastoviais koeficientais f(x + n) + a₁f(x + n – 1) + … + a_nf(x) = 0 sprendinys paprasčiausiu atveju, kai vadinamos charakteringosios lygties λⁿ + a₁λ^n–1 + … + a_n–1λ + a_n = 0 šaknys λ₁, …, λ_n skirtingos, yra $f(x)=C_1{\lambda }_1^x+C_2{\lambda }_2^x$ +… + $C_n{\lambda }_n^x$; C_k – bet kokios konstantos. Baigtiniai skirtumai apibendrinami imant bet kurią skirtingų skaičių seką x₀, x₁, …, x_n ir sudarant vadinamus padalytuosius skirtumus Δ(f; x₀, x₁) = $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$, …, Δⁿ(f; x₀, x₁, …, x_n) = $\frac{{\mathrm{\Delta }}^{n-1}(f;x_1,x_2,\mathrm{...},x_n)-{\mathrm{\Delta }}^{n-1}(f;x_0,x_1,\mathrm{...},x_{n-1})}{x_n-x_0}$. Baigtinių skirtumų teoriją kartu su matematine analize plėtojo I. Newtonas, B. Tayloras, L. Euleris, J. H. Poincaré. Baigtiniai skirtumai taikomi funkcijų interpoliavimui, skaitiniam diferencijavimui ir integravimui, apytiksliam diferencialinių lygčių sprendimui.