Euklido erdvė

Eukldo erdv, realioji n‑matė vektorinė erdvė Rⁿ, kurioje apibrėžta skaliarinė daugyba (x, y) = $\sum _{j=1}^n{x}_j{y}_j$, x, y ∈ Rⁿ. Skaičius (x, y) vadinamas vektorių x = (x₁, x₂, …, x_n), y = (y₁, y₂, …, y_n) skaliarine sandauga. Funkcija $\left|x\right| =\sqrt{(x, x)}$, x ∈ Rⁿ vadinama euklidiniu ilgiu (euklidine norma) arba tiesiog ilgiu, o jos reikšmė |x| – vektoriaus x ilgiu. Paprasčiausia Euklido erdvė yra dvimatė Euklido erdvė (plokštuma). Skaliarinė daugyba turi savybes: (x, x) ≥ 0; (x, x) = 0 tada ir tik tada, kai x = 0; (x, y) = (y, x); (cx, y) = c(x, y); (x + y, z) = (x, z) + (y, z). Kai x ≠ 0 ir y ≠ 0, kampas α tarp vektorių x ir y apibrėžiamas lygybe $\cos \alpha =\frac{(x, y)}{\left|x\right|\left|y\right|}$. Jeigu (x, y) = 0, vektoriai x ir y vadinami ortogonaliais (statmenais). Skaičius |x – y| vadinamas atstumu tarp vektorių x ir y. Remiantis atstumu Euklido erdvėje apibrėžiamos ribos, tolydumo bei diferencijuojamumo sąvokos.

62