Eulerio funkcijos

Eulerio funkcijos Γ(a) grafikas

Eulerio funkcijos (Òilerio fùnkcijos), Eulerio integralai (Òilerio integrãlai), integralai, reiškiami formulėmis Β(a, b) = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}$x^a–1(1 – x)^b–1dx, Γ(a) = $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{a-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$. Pirmasis integralas konverguoja, kai a > 0, b > 0; jis yra kintamųjų parametrų a, b funkcija, kuri vadinama beta funkcija, arba I rūšies Eulerio integralu. Beta funkcija yra simetrinė, t. y. B(a, b) = B(b, a), be to, teisinga lygybė B(a, b) = $\frac{b-1}{a+b-1}$B(a, b – 1). Antrasis integralas konverguoja, kai a > 0; jis yra kintamojo parametro a funkcija, kuri vadinama gama funkcija, arba II rūšies Eulerio integralu. Gama funkcijos pagrindinės savybės: Γ(a + 1) = aΓ(a), taikant šią formulę pakartotinai, kai a = n (n – natūralusis skaičius), gaunama Γ(n + 1) = n!; Γ(a) kompleksinėje plokštumoje yra meromorfinė funkcija, taškuose a = –n(n = 0, 1, 2, …) turinti paprastus polius: $\mathrm{\Gamma }(a)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^a\frac{1\cdot 2\mathrm{...}(n-1)}{a(a+1)\mathrm{...}(a+n-1)}$; $\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(1-a)=\frac{\mathrm{\pi }}{\sin \mathrm{\pi }a}$ (papildymo formulė).

Beta funkciją ir gama funkciją sieja lygybė B(a, b)$=\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}$, todėl beta funkcijos teorija pakeičiama gama funkcijos teorija. Gama funkcija gaunama skaičiuojant daugelį apibrėžtinių integralų, eilučių sumų ir begalinių sandaugų, ja naudojamasi analizinėje skaičių teorijoje, specialiųjų funkcijų teorijoje.

Beta funkciją pavartojo 1659 Johnas Wallisas (Anglija), 1676 I. Newtonas, ją ištyrė 1730–31 L. Euleris. Gama funkcijos ekvivalenčią išraišką begaline sandauga pradėjo vartoti 1729 L. Euleris, o 1781 jis gavo jos integralinę išraišką.

-beta funkcija, gama funkcija