ilgis

igis, baigtinės kreivės skaitinė charakteristika. Kreivės (kreivės lanko) ilgis – riba, prie kurios artėja į tą kreivę (kreivės lanką) įbrėžtos laužtės ilgis (jos kraštinių ilgių Δl_i suma) neribotai didinant jos kraštinių skaičių n ir mažinant didžiausios jų ilgį: \( \lim\limits_{\substack{n \to \infty \\ \mathrm{max} \:\Delta l_i \to 0}}\sum\limits_{i=1}^{n} \Delta l_i \). Plokščiosios kreivės y = f(x), turinčios tolydžiąją išvestinę f′(x) intervale [a, b], ilgis apskaičiuojamas pagal formulę: $l=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{(f^{\text{'}}(x))}^2}\mathrm{d}x$. Jei kreivės lygtys yra parametrinės, t. y. x = x(t), y = y(t) (t₁ ≤ t ≤ t₂), tada $l=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\sqrt{x^{\text{'}}{(t)}^2+{(y^{\text{'}}(t))}^2}\mathrm{d}t$; jei kreivės lygtis polinėje koordinačių sistemoje yra ρ = ρ(φ) (φ₁ ≤ φ ≤ φ₂), tada $l=\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\sqrt{{\rho }^2(\phi )+{({\rho }^{\text{'}}(\phi ))}^2}\mathrm{d}\phi$. Astroidės, kurios parametrinės lygtys yra x = acos³t, y = asin³t, ilgis l = 6a, cikloidės (x = a(t – sint), y = a(1 – cost)) vienos arkos ilgis l = 8a, kardioidės ρ = a(1 ± cosφ) ilgis l = 8a. Elipsės x = acost, y = bsint ilgis išreiškiamas elipsiniu integralu $E(e)=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\sqrt{1-e^2{\sin }^{2}t}\mathrm{d}t\mathrm{:}l=4a\cdot E(e)$; čia e – elipsės ekscentricitetas. Kreivės ilgio sąvoką 19 a. išaiškino C. Jordanas.

1668