integralinė transformacija

integrãlinė transformãcija, taisyklė, pagal kurią taikant integravimą vienos klasės vieno kintamojo funkcija keičiama kitos klasės kito kintamojo funkcija. Tarkime, kad funkcija f(t) keičiama funkcija F(p) taip: F(p)$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}$f(t)K(t, p)dt. Tuomet funkcija f(t) vadinama funkcijos F(p) pirmavaizdžiu (arba originalu), F(p) – funkcijos f(t) vaizdu, K(t, p) – integralinės transformacijos branduoliu. Viena pirmųjų (1812) panaudota Laplace’o integralinė yransformacija F(p)$=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$f(t)e^–pt dt, kai p – kompleksinis kintamasis (p = σ + iω), f(t) – realiojo kintamojo kompleksinė funkcija, didėjanti ne greičiau kaip rodiklinė funkcija (operacinis skaičiavimas). Svarbios Fourier integralinės transformacijos: A(u)$=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$f(t)cos ut dt, B(u)$=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$f(t)sin ut dt, F(u)$=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$f(t)e^–iut dt (pastovaus dauginamojo tikslumu). Pirmosios dvi vadinamos kosinusine ir sinusine Fourier integralinėmis transformacijomis, paskutinė F(u) – Fourier integralinės transformacijos kompleksine forma. Jas pritaikius gaunamos tokios funkcijos f(x) Fourier integralo trigonometrinė ir kompleksinė išraiškos šios funkcijos tolydumo taškuose: f(x) =$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$(A(u)cos ux + B(u)sin ux) du, f(x) = $\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}u\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}u(x-t)}\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\mathit{ut}}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathit{ux}}\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}u=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$F(u)e^iux. Be tiesioginės integralinės transformacijos, svarbi ir atvirkštinė integralinė transformacija, pagal kurią kartais žinant vaizdą galima gauti pirmavaizdį. Laplace’o atvirkštinė integralinė transformacija: f(t)$=\frac{1}{2\mathrm{\pi }\mathrm{i}}\underset{\sigma -\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{\overset{\sigma +\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{\int }}F$(p)e^pt dp; čia integruojama tiese Re p = σ, priklausančia funkcijos F(p) analiziškumo sričiai. Atvirkštinės Fourier integralinės transformacijos kompleksinė forma: f(t)$=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$F(u)e^iut du. Bet kuriam dažniui u funkcija e^iux aprašo harmoninį svyravimą, funkcija f(x)$=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}F$(u)e^iux du aprašo judėjimą, kuris išreiškiamas begaliniu skaičiumi nepriklausomų svyravimų su skirtingais dažniais, Fourier integralinė transformacija F(u) parodo svyravimų intensyvumą.

1668