koreliacijos koeficientas

koreliãcijos koeficieñtas, atsitiktinių dydžių tiesinio priklausomumo skaitinė charakteristika. Dviejų atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos koeficientas apskaičiuojamas pagal tokią formulę: $\rho =\frac{\mathrm{E}\mathit{XY}-\mathrm{E}X\cdot \mathrm{E}Y}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y}$; čia EX – X vidurkis, EY – Y vidurkis, EXY – sandaugos XY vidurkis, σ_X – X vidutinis kvadratinis (standartinis) nuokrypis, σ_Y – Y vidutinis kvadratinis nuokrypis. Koreliacijos koeficientui ρ teisinga nelygybė –1 ≤ ρ ≤ 1. Kai ρ = ± 1, tarp atsitiktinių dydžių X ir Y yra tiesinis funkcinis priklausomumas Y = aX + b, kai ρ = 0, atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nekoreliuotaisiais. Kai X ir Y yra normalieji, ir ρ = 0, X ir Y yra nepriklausomi. Jei koreliacijos koeficientas ρ (teorinis) nežinomas, tai turint atsitiktinių dydžių X ir Y imtis apskaičiuojamas empirinis koreliacijos koeficientas $r=\frac{\overline{\mathit{xy}}-\bar{x}\cdot \bar{y}}{s_X\cdot s_Y}$; čia $\bar{x}$ – atsitiktinio dydžio X imties vidurkis, $\bar{y}$ – Y imties vidurkis, $\overline{\mathit{xy}}$ – sandaugų vidurkis, s_X – X imties vidutinis kvadratinis nuokrypis $\left(s_x=\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2\right)$, s_Y – Y imties vidutinis kvadratinis nuokrypis. Jei (X, Y) yra normalusis dvimatis atsitiktinis dydis, imtis pakankamai didelė ir imties koreliacijos koeficientas r mažas, tai r yra asimptotiškai pasiskirstęs pagal normalųjį skirstinį $r\sim \mathrm{N}\left(\rho ,\frac{1-{\rho }^2}{\sqrt{n}}\right)$. Šiuo atveju taikant asimptotiškai normuotąją statistiką $U=\frac{r-{\rho }_0}{1-r^2}\cdot \sqrt{n}$ galima tikrinti koreliacijos koeficiento ρ reikšmės hipotezę H₀ : ρ = ρ₀. Bendruoju atveju, kai imtis nedidelė, r reikšmė nėra maža, tai r pasiskirstymas skiriasi nuo normaliojo ir ρ reikšmės hipotezei tikrinti ar ρ pasikliautinajam intervalui gauti taikomas R. A. Fisherio pasiūlytas asimptotiškai normalus atsitiktinis dydis $Z=\frac{1}{2}\ln \frac{1+r}{1-r}$, kurio vidurkis ir vidutinis kvadratinis nuokrypis yra tokie: $\mathrm{E}Z\approx \frac{1}{2}\ln \frac{1+\rho }{1-\rho }+\frac{\rho }{2(n-1)}$, ${\sigma }_Z\approx \frac{1}{\sqrt{n-3}}$. Kai atsitiktinių dydžių yra keli, t. y. kai žinomas atsitiktinis vektorius X = (X₁, X₂, …, X_i, …, X_j, …, X_k), bet kurios poros (X_i, X_j) koreliacijos koeficientas ρ_ij apibrėžiamas taip: ${\rho }_{\mathit{ij}}=\frac{\mathrm{cov}(X_i,X_j)}{{\sigma }_i\cdot {\sigma }_j}$; čia cov(X_i, X_j) =€σ_ij = E((X_i – EX_i) · (X_j – EX_j)) yra atsitiktinių dydžių X_i ir X_j kovariacija arba koreliacijos momentas, ${\sigma }_i=\sqrt{{\sigma }_{\mathit{ii}}}$, ${\sigma }_j=\sqrt{{\sigma }_{\mathit{jj}}}$. Simetriškos ir neneigiamai apibrėžtos matricos $\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{1l}\\ \mathrm{...}\\ {\sigma }_{\mathit{kl}}\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\begin{array}{c}{\sigma }_{1k}\\ \mathrm{...}\\ {\sigma }_{\mathit{kk}}\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{...}\\ {\rho }_{k1}\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\begin{array}{c}{\rho }_{1k}\\ \mathrm{...}\\ 1\end{array}\right)$ vadinamos atitinkamai kovariacijų ir koreliacijos koeficientų matricomis.