láipsninė eilùtė, eilutė, išreiškiama n=0anxnsum from{n=0} to{ %infinite } a_{n} x^{n} arba n=0an(xx0)nsum from{n=0} to{ %infinite } a_{n}( x`-` x_{0} )^n. Skaičiai an vadinami eilutės koeficientais. Realiojo kintamojo x reikšmės, kurioms laipsninės eilutės konverguoja, sudaro laipsninės eilutės konvergavimo intervalą |x| < R arba |x – x0| < R; R vadinamas konvergavimo spinduliu. Jis gali būti teigiamasis skaičius, 0 arba +∞ (randamas absoliučiųjų didumų eilutėms pritaikius d’Alembert’o arba Cauchy požymį). Jei funkcija f(x) be galo diferencijuojama, ji išreiškiama laipsninėmis eilutėmis, kurios atitinkamai vadinamos Maclaurino ir Tayloro eilutėmis. Jų koeficientams teisingos formulės: an=f(n)(0)n!a_{n}`=` { f^{( n )}(0)} over { fact{n} } ir an=f(n)(x0)n!a_{n}`=` { f^{( n )}( x_{0})} over { fact{n} } . Laipsninę eilutę galima panariui integruoti ir diferencijuoti. Taikant funkcijos f(x) laipsninę eilutę galima apytiksliai rasti šios funkcijos reikšmę, šaknis, apibrėžtinius integralus ir diferencialinių lygčių sprendinius (laipsninių eilučių metodas). Kai kintamasis z ir koeficientai cn yra kompleksiniai skaičiai, laipsninės eilutės n=0cnznsum from{n=0} to{ %infinite } c_{n} z^{n} , n=0cn(zz0)nsum from{n=0} to{ %infinite } c_{n}( z`-` z_{0} )^n vadinamos kompleksinėmis. Jų konvergavimo sritys yra skrituliai |z| < R arba |z – z0| < R, kurių viduje eilutės konverguoja, o išorėje – diverguoja. Jei funkcija f(z) yra analizinė taško z0 aplinkoje |z – z0| < r, ši funkcija išreiškiama tokia konverguojančia laipsnine eilute: f(z)=n=0f(n)(z0)n!(zz0)nf(z)`=` sum from{n=0} to{ %infinite } {{ f^{( n )}( z_{0})} over { fact{n} }} ( z`-` z_{0} )^n . Kai z0 = 0, laipsninė eilutė vadinama Maclaurino eilute. Pvz., ez=n=0znn!e^{z}`=` sum from{n=0} to{ %infinite } {z^{n} over fact{n}}, sinz=n=1(1)(n1)z2n1(2n1)!sin z`=` sum from{n=1} to{ %infinite } ( -1 )^( n-1 ) { z^{2n-1}} over { fact{( 2n`-`1 )} } , cosz=n=0(1)(n)z2n(2n)!cos z`=` sum from{n=0} to{ %infinite } ( -1 )^( n) { z^{2n}} over { fact{( 2n)} } , shz=n=1z2n1(2n1)!nitalic{sh} z`=` sum from{n=1} to{ %infinite } {{ z^{2n-1}} over { fact{( 2n`-`1)} }} , chz=n=0z2n(2n)!nitalic{ch} z`=` sum from{n=0} to{ %infinite } {{ z^{2n}} over { fact{( 2n)} }} , kai z – bet kuris kompleksinis skaičius; 11z=n=0zn{1} over {1`-`z}`=` sum from{n=0} to{ %infinite } z^n , kai |z| < 1; ln(1 – z) = n=1znn-sum from{n=1} to{ %infinite } {{ z^{n}} over {n}} , kai |z| < 1.

Papildoma informacija
Turinys
Bendra informacija
Straipsnio informacija
Autorius (-iai)
Redaktorius (-iai)
Publikuota
Redaguota