laipsninė eilutė

láipsninė eilùtė, eilutė, išreiškiama $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ arba $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-x_0)}^n$. Skaičiai a_n vadinami eilutės koeficientais. Realiojo kintamojo x reikšmės, kurioms laipsninės eilutės konverguoja, sudaro laipsninės eilutės konvergavimo intervalą |x| < R arba |x – x₀| < R; R vadinamas konvergavimo spinduliu. Jis gali būti teigiamasis skaičius, 0 arba +∞ (randamas absoliučiųjų didumų eilutėms pritaikius d’Alembert’o arba Cauchy požymį). Jei funkcija f(x) be galo diferencijuojama, ji išreiškiama laipsninėmis eilutėmis, kurios atitinkamai vadinamos Maclaurino ir Tayloro eilutėmis. Jų koeficientams teisingos formulės: $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ ir $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$. Laipsninę eilutę galima panariui integruoti ir diferencijuoti. Taikant funkcijos f(x) laipsninę eilutę galima apytiksliai rasti šios funkcijos reikšmę, šaknis, apibrėžtinius integralus ir diferencialinių lygčių sprendinius (laipsninių eilučių metodas). Kai kintamasis z ir koeficientai c_n yra kompleksiniai skaičiai, laipsninės eilutės $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{(z-z_0)}^n$ vadinamos kompleksinėmis. Jų konvergavimo sritys yra skrituliai |z| < R arba |z – z₀| < R, kurių viduje eilutės konverguoja, o išorėje – diverguoja. Jei funkcija f(z) yra analizinė taško z₀ aplinkoje |z – z₀| < r, ši funkcija išreiškiama tokia konverguojančia laipsnine eilute: $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}{(z-z_0)}^n$. Kai z₀ = 0, laipsninė eilutė vadinama Maclaurino eilute. Pvz., $e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$, $\sin z=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{(n-1)}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}$, $\cos z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{(n)}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$, $\mathrm{sh}z=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}$, $\mathrm{ch}z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$, kai z – bet kuris kompleksinis skaičius; $\frac{1}{1-z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$, kai |z| < 1; ln(1 – z) = $-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}$, kai |z| < 1.