laipsninių eilučių metodas

láipsninių eilùčių metòdas, apytikslių funkcijos reikšmių, šaknies reikšmių, apibrėžtinių integralų ir diferencialinių lygčių sprendimo būdas taikant laipsnines eilutes. Pvz., norint apytiksliai apskaičiuoti ln 3 reikšmę taikoma laipsninė eilutė ln1+x1x=2(x+x33+x55+...)ln {1`+`x} over {1`-`x}`=`2 left ( x`+` { x^{3}} over {3}`+` { x^{5}} over {5}`+`... right ) , kuri teisinga, kai |x| < 1. Joje įrašius x=12x`=`{1} over {2} gaunama ln 3 eilutė: ln3=1+1223+1245+...ln 3`=`1`+` {1} over { 2^{2}`cdot`3}`+` {1} over { 2^{4}`cdot`5}`+`.... Norint apytiksliai apskaičiuoti šaknį aknroot{k}{a} taikoma binominė eilutė (1+x)n=1+nx+n(n1)2!x2+...( 1`+`x )^{n}`=`1`+`nx`+` {n(n`-`1)} over { fact{2} } x^{2}`+`... , kai n=1kn`=` {1} over {k} . Laipsninėje eilutėje ex=n=0xnn!nitalic{e}^{italic{x}}`=` sum from{n=0} to{ %infinite } {{ x^{n}} over { fact{n} } } pakeitus kintamąjį x kintamuoju –x2 gaunama eilutė ex2=1x21!+x42!...nitalic{e}^{italic{ -x^{2}}}`=`1`-` { x^{2}} over { fact{1} }`+` { x^{4}} over { fact{2} }`-`... . Šią eilutę panariui suintegravus galima apytiksliai apskaičiuoti, pvz., integralą 01ex2dxint from{0} to{1} nitalic{e}^{ -italic{x}^{2}} nitalic{ d }x . Taikant atitinkamas laipsnines eilutes galima apytiksliai apskaičiuoti, pvz., tokius integralus: 0πsinxxdxint from{0} to{ nitalic{%pi} }{ {sin x} over {x} } nitalic{ d }x , 01arctanxxdxint from{0} to{ 1 }{ {arctan x} over {x} } nitalic{ d }x , 01ln(1+x)xdxint from{0} to{ 1 } {{ln(1`+`x)} over {x} } nitalic{ d }x . Diferencialinės lygties y″ = xy, kurios pradinės sąlygos y(0) = 1, y′(0) = 0, sprendinį y(x) galima ieškoti laipsninės eilutės pavidalu: y = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + … . Atsižvelgus į pradines sąlygas gaunama, kad a0 = 1, a1 = 0, tada y = 1 + a2x2 + a3x3 + a4x4+ a5x5 + … , y′ = 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + 5a5x4 + … , y″ = 2a2 + 3∙2a3x + 4∙3a4x2 + 5∙4a5x3 + … . Nežinomi sprendinio eilutės koeficientai randami iš tapatybės 2a2 + 6a3x + 12a4x2 + 20a5x3+ … ≡ x + a2x3 + a3x4 + … sulyginus vienodų x laipsnių koeficientus: a2 = 0, a3=16a_{3}`=` {1} over {6} , a4 = 0, a5 = 0, … .

Papildoma informacija
Turinys
Bendra informacija
Straipsnio informacija
Autorius (-iai)
Redaktorius (-iai)
Publikuota
Redaguota