minimalusis paviršius

katenoidas

minimalùsis pavišius, toks paviršius, kurio vidutinis kreivis kiekviename taške lygus nuliui. Minimalaus paviršiaus sąvoka sukurta sprendžiant tokį variacinio skaičiavimo uždavinį: iš visų paviršių, einančių per turimą erdvinę kreivę, rasti tą, kurio ta kreive apribotos srities plotas yra mažiausias. Jei lygtis z = f(x, y) reiškia minimalųjį paviršių, tai ji tenkina antrosios eilės dalinių išvestinių diferencialinę lygtį: (1 + q²)r – 2pqs + (1 + p²)t = 0; čia $p=\frac{\partial z}{\partial x}$, $q=\frac{\partial z}{\partial y}$, $r=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$, $s=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$, $t=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}$. Minimaliojo paviršiaus pilnasis kreivis K ≤ 0. Per kiekvieną Jordano kreivę galima išvesti minimalųjį paviršių. Statusis helikoidas, katenoidas yra minimalieji paviršiai. Pirmasis minimalųjį paviršių ištyrė J. L. de Lagrange’as 1768.