paviršinis integralas

pavišinis integrãlas, funkcijos, apibrėžtos paviršiuje, integralas. Paviršius S, kuriame apibrėžta funkcija f(M) = f(x, y, z), glodžių (arba glodžių atkarpomis) kreivių tinklu padalijamas į dalis S_i(i = 1, 2, ..., n). Kiekvienoje dalyje S₁ parenkamas taškas M_i ir sudaroma suma _nΣ_i=1f(M_i)λ ⋅ (s_i); čia λ(S_i) – paviršiaus dalies S_i plotas. Jei egzistuoja baigtinė tos sumos riba, kai visų dalių S_i skersmenys artėja prie 0, tai jį vadinama funkcijos pirmojo tipo paviršiniu integralu ir žymima ∫∫_Sf(M)dS. Tokiu integralu skaičiuojama, pvz., materialaus paviršiaus masė, momentai, masės centro koordinatės, kai žinomas paviršinis tankis f(M). Galima sudaryti kitą sumą _nΣ_i=1f(M_i)D_i; čia D_i – paviršiaus dalies S_i projekcijos bet kurioje koordinačių plokštumoje plotas. Šiuo atveju paviršius S orientuojamas (nurodoma teigiamieji paviršiaus normalės kryptis). Tokios sumos riba vadinama antrojo tipo kreiviniu integralu ir pagal tai, į kurią koordinačių plokštumą (xy, yz arba zx) projektuojamos dalys S_i, atitinkamai žymima ∫∫_Sf(M)dxdy,∫∫_Sf(Mdydz), arba ∫∫_Sf(M)dzdx. Jei paviršiuje S apibrėžtos 3 funkcijos P, Q ir R, tai dažniausiai vartojama šių integralų suma ∫∫_SPdydz + ∫∫_SQdzdx + ∫Rdxdy = ∫∫_SPdydz + Qdzdx + Rdxdy. I ir II tipo paviršinius integralus sieja formulė ∫∫_SPdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫_S(Pcosα + Qcosμ + Rcosν)dS; čia α, β, υ – kampai, kuriuos paviršiaus normalė sudaro su koordinačių ašimis. Paviršinis integralas apskaičiuojamas, pakeičiant jį dvilypiu integralu. Pvz., pirmojo tipo paviršinį integralą keičiant dvilypiu integralu, koordinatės x, y, z pakeičiamos jų parametrinėmis išraiškomis, o ploto elementas dS – jo išraiška kreivinėse koordinatėse. Kai paviršius S riboja trimatę sritį V, antrojo tipo paviršinį integralą su trilypiu integralu sieja Ostrogradskio formulė. Kai paviršių S riboja uždara kreivė L, antrojo tipo paviršinį integralą su kreiviniu integralu sieja Stokso formulė.