aibių teorija

áibių teòrija, matematikos šaka, kuri nagrinėja aibes neatsižvelgdama į konkrečias jų elementų savybes. Daugiausia tiria begalines aibes jų elementų sutvarkymo, atvaizdavimo ir kitų sąryšių požiūriu. Baigtinių aibių poaibių sudarymo dėsnius, elementų įvairių kombinacijų skaičiaus nustatymą nagrinėja kombinatorika, euklidinių erdvių taškų aibių struktūrą – deskripcinė aibių teorija, kurios uždavinys – aprašyti aibes, gaunamas iš tam tikros nesudėtingų aibių sistemos sankirtos, sąjungos, projektavimo ir kitomis operacijomis. Aibių teorija visose matematikos šakose suponavo naujų metodų ir požiūrių. Jos pagrindu atsirado realiojo kintamojo funkcijų teorija, bendroji topologija, funkcinė analizė, tikimybių teorija. Aibių teorijos sąvokos yra tinkamiausios įvairioms matematikos teorijoms aksiomatizuoti. Aibių teorija susiformavo 19 a. antroje pusėje prireikus pagrįsti matematinę analizę. Aibių teorijos pradininkas B. Bolzano. Sistemingą aibių teoriją sukūrė G. F. L. P. Cantoras. Aibių teorijoje yra prieštaravimų ir paradoksų (antinomijų). Pvz., visų aibių aibės sąvoka tuojau pat sukelia prieštaravimą (Russello antinomija). E. Zermelo, stengdamasis įveikti antinomijų sukeltą krizę, aksiomatizavo aibių teoriją. Jo aksiomos neleido konstruoti antinomijų. Tačiau vienos jo aksiomų (Zermelo aksioma) kai kurios išvados yra neįprastos ir nepriimtinos. Dėl to egzistuoja aibių teorijos kryptis, siūlanti atsisakyti Zermelo aksiomos arba bent ją apriboti. Kita svarbi aibių teorijos problema yra kontinuumo hipotezė. 1940 K. Gödelis įrodė, kad jokiais logikos samprotavimais negalima jos paneigti; 1963 Paulis Josephas Cohenas (Jungtinės Amerikos Valstijos) įrodė, kad jokiais logikos samprotavimais negalima paneigti teiginio, priešingo kontinuumo hipotezei.