algebrinė funkcija

algebrnė fùnkcija, algebrinę lygtį tenkinanti funkcija. Pvz., funkcija $u=x-\sqrt{x}$ yra algebrinė funkcija, nes ji tenkina algebrinę lygtį u² – 2xu + x²– x = 0. Funkcija, netenkinanti jokios algebrinės lygties, vadinama transcendenčiąja funkcija. Algebrinė funkcija priklauso analizinių funkcijų klasei. Tos algebrinės funkcijos, kurios sudarytos iš daugianarių ir daugianarių santykių, vadinamos racionaliosiomis (pvz., $u=5x^2-\sqrt{3\mathit{xy}}+\sqrt{2y^2}$, u = (4 + x²)/(3 + x³)), visos kitos – iracionaliosiomis. Pastarųjų pavyzdžiai yra funkcijos, išreikštos radikalais $(u=\sqrt{1+x^2};u=(x-y)/\sqrt[3]{x+\sqrt{y}})$. Tačiau kai kurių iracionaliųjų algebrinių funkcijų negalima išreikšti radikalais (pvz., funkcijos u = f(x), tenkinančios lygtį u⁵ + 5ux⁴ + 5x⁵ = 0). Bendriausia daugelio kintamųjų algebrinė funkcija u = f(x, y, z, …) apibrėžiama kaip funkcija, tenkinanti lygtį F₀ (x, y, z, …) uⁿ + F₁(x, y, z, …) u^n– 1 + … + F_n (x, y, z, …) = 0; čia F₀, F₁, …, F_n – nežinomųjų x, y, z, … daugianariai; visas reiškinys kairėje pusėje – nežinomųjų x, y, z, … ir u daugianaris; jį galima laikyti neskaidomu į žemesniojo laipsnio daugianarių sandaugą; be to, daugianarį F₀ galima laikyti tapatingai nelygiu nuliui. Jei n = 1, tai u = F₁/F₀ yra racionalioji funkcija, kurios atskiras atvejis – sveikoji racionali funkcija – yra daugianaris (kai F₀ = const ≠ 0). Jei n > 1, gaunama iracionalioji funkcija: kai n = 2, ji išreiškiama kvadratiniais radikalais; kai n = 3 ar n = 4 – kvadratiniais, kubiniais ir ketvirtojo laipsnio radikalais. Jei n ≥ 5, iracionalioji funkcija u bendruoju atveju jau negali būti išreikšta radikalais. Iracionalioji algebrinė funkcija visada daugiareikšmė, pvz., paskutiniąja lygtimi apibrėžta funkcija u = f(x, y, z, …) yra kintamųjų x, y, z, … n‑reikšmė analizinė funkcija.

1522