antrosios eilės kreivė

antrosios eilės kreivės: a – elipsė, b – parabolė, c – hiperbolė

antrõsios eils kreiv, kreivė Descartes’o koordinačių sistemoje išreiškiama II laipsnio lygtimi a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0.Jei šios lygties sprendiniai realūs ir kairioji jos pusė nėra dviejų I laipsnio trinarių sandauga (tuo atveju lygtį atitinka tiesių dvejetas), tai, atitinkamai pakeitus koordinačių sistemą, lygčiai galima suteikti vieną šių pavidalų: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ = 1, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ = 1, y² = 2 px. Pirmoji lygtis reiškia elipsę, antroji – hiperbolę, trečioji – parabolę. Jei a = b, elipsė tampa apskritimu, o hiperbolė – lygiaaše hiperbole. Geometrijos požiūriu, antrosios eilės kreivė yra aibė taškų, kurių kiekvieno nuotolių nuo pastovaus taško (židinio) ir pastovios tiesės (direktrisės) santykis lygus pastoviam neneigiamam skaičiui e (ekscentricitetui). Elipsės e < 1, parabolės e = 1, hiperbolės e > 1. Visas antrosios eilės kreives galima gauti kertant kūgį plokštumomis, neinančiomis per jo viršūnę, todėl antrosios eilės kreivės dar vadinamos kūgio pjūviais.

Jei α – kampas tarp kūgio sudaromosios ir jo ašies, o β – kampas tarp kūgį kertančios plokštumos ir kūgio ašies, tai pjūvio linija yra elipsė, kai β > α (apskritimas, kai β = 90°), parabolė, kai β = α, ir hiperbolė, kai β < α. Antrosios eilės kreives, kaip kūgio pjūvius, nagrinėjo senovės graikų matematikai (Apolonijas Pergietis ir kiti). Laisvai skriejančio kūno, kurį traukia kitas kūnas, trajektorija irgi yra antrosios eilės kreivė. Gulsčiai arba įžambiai mestas akmuo lekia parabole; planetos aplink Saulę skrieja elipsėmis. Raketa, horizontaliai paleista nuo Žemės atmosferos ribos I kosminiu greičiu, skrietų apskritimu; jeigu jos pradinis greitis būtų tarp I ir II kosminio greičio – elipse, jei lygus II kosminiam greičiui – parabole, jei viršytų II kosminį greitį – hiperbole.

-kūgio pjūviai