apibendrintoji funkcija

apibeñdrintoji fùnkcija, tolydusis tiesinis funkcionalas, apibrėžtas erdvėje be galo daug kartų tolygiai diferencijuojamų funkcijų φ(x), kurios yra tapačiai lygios nuliui už baigtinio intervalo ribų. Skaičius f(φ), kurį apibendrintoji funkcija priskiria funkcijai φ(x), vadinamas funkcionalo reikšme vadinamame taške φ(x). Jei funkcija f(x) yra įprastinė (analizinė, tolydžioji, lokaliai sumuojama), tai formulė $f(\phi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\phi (x)\mathrm{d}x$ apibrėžia reguliariąją apibendrintąją funkciją, atitinkančią funkciją f(x). Apibendrintoji funkcija, kurios neatitinka nė viena įprastinė funkcija, vadinama singuliariąja, pvz., Diraco delta funkcija. Kokia bebūtų apibendrintoji funkcija, visada galima rasti tokią įprastinių funkcijų seką, kuri konverguotų į turimą funkciją. Taigi apibendrintųjų funkcijų klasė yra įprastinių funkcijų klasės plėtinys. Šis plėtinys turi būdingų savybių: pvz., egzistuoja bet kurios eilės išvestinė f^(k), apskaičiuojama pagal formulę f^(k)(φ) = (–1)^k f(φ^(k)) (jei f reguliari, tai f^(k) $(\phi )={(-1)}^k\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x){\phi }^{(k)}(x)\mathrm{d}x$), kai k = 1, 2, …, f = $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ galima diferencijuoti panariui ir $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n^{\text{'}}=f^{\text{'}}$; bet kurią apibendrinančią funkciją galima dauginti iš be galo daug kartų diferencijuojamos funkcijos. Fizikoje apibendrintoji funkcija rodo krūvio, masės, šilumos pasiskirstymą objekte. 1945 L. Schwartzas sukūrė griežtą matematinę apibendrintųjų funkcijų teoriją. Ji taikoma kvantinėje mechanikoje, kvantinėje lauko teorijoje, diferencialinių lygčių teorijoje.

3034