apibrėžtinis integralas

apibrėžtinio integralo geometrinė interpretacija

apibrėžtnis integrãlas, integralinių sumų σ riba. Intervalas [a, b], kuriame apibrėžta funkcija f(x), taškais a₀ = x₀ < x₁ < … < x_i … < x_n = b padalijamas į intervalus [x_i–1, x_i] (i = 1, 2, …, n). Kiekviename intervale [x_i–1, x_i] pasirenkamas taškas ξ_i ir sudaroma integralinė suma $\sigma =\sum _{i=1}^n$f(ξ_i)Δx_i, kurioje Δx_i = x_i – x_i–1. Intervalo [a, b] suskaidymas smulkinamas taip, kad max Δx_i → 0. Jei egzistuoja baigtinė riba lim σ, nepriklausanti nei nuo intervalo [a, b] skaidymo būdo, nei nuo taškų ξ_i pasirinkimo, tai ji vadinama funkcijos f(x) apibrėžtiniu integralu (Riemanno prasme) intervale [a, b] ir žymima $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Skaičiai a ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu integravimo rėžiais. Funkcija f(x) vadinama integruojamąja intervale [a, b]. Pvz., integruojamosios yra intervale [a, b] aprėžtos funkcijos, turinčios baigtinę arba suskaičiuojamą aibę trūkio taškų (arba visai jų neturinčios). Funkcija integruojama tada ir tik tada, kai jos trūkio taškų aibė yra nulinio mato (Lebesgue’o prasme). Jei funkcija f(x) intervale [a, b] yra integruojama ir turi pirmykštę funkciją F(x), t. y. F′(x) = f(x), x ∈ [a, b], tai $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Ši Newtono ir Leibnizo formulė vartojama apibrėžtiniam integralui skaičiuoti. Jei f(x) integruojamoji, tolydžioji ir f(x) ≥ 0, kai x ∈ [a, b], tai suma σ yra iš stačiakampių sudarytos figūros plotas, o apibrėžtinis integralas – figūros, apribotos kreive y = f(x), x ašimi ir tiesėmis x = a, x = b, plotas.