atsitiktinių procesų teorija

atsitiktnių procèsų teòrija, tikimybių teorijos šaka, tirianti atsitiktinius procesus, kuriems apibrėžtos tikimybės jų trajektorijų tėkmei. Fizikiniai atsitiktinių procesų pavyzdžiai: skystyje pakibusios medžiagos dalelės judesiai, nulemti skysčio molekulių chaotiško šiluminio judėjimo (Browno judesio procesas) arba radioaktyviosios medžiagos atomų skilimų per tam tikrą laiko intervalą skaičius (Poissono procesas). Atsitiktinių procesų teorija nagrinėja metodus, kaip sukonstruoti atsitiktinius procesus su turimais baigtiniamačiais tikimybiniais skirstiniais ir ištirti jų trajektorijų savybes bei rasti įvairias skaitines charakteristikas. Greta funkcijų teorijos, funkcinės analizės, diferencialinių lygčių teorijos plačiai taikomi stochastinės analizės metodai, kuriems labai svarbios yra martingalo, atsitiktinio taškinio mato bei stochastinių integralų sąvokos. Atsitiktinis procesas X apibrėžiamas tikimybine erdve (Ω, \(\mathscr{F}\), P), laiko aibe T ⊂ R¹ ir būsenų išmatuojamąja erdve (\(\mathscr{X}\), \(\mathscr{A}\)), kaip atvaizdis X : Ω × T → \(\mathscr{X}\), kuriam su visais t_j ∈ T, A_j ∈ \(\mathscr{A}\), j = 1, …, n, n ≥ 1, {ω : X(ω, t_j) ∈ A_j, j = 1, …, n} ∈ \(\mathscr{F}\). Kartu apibrėžiamos funkcijos $F_{t_1}^X,\mathrm{...},{}_{t_n}$ (A₁, …, A_n) = P({ω : X(ω, t_j) ∈ A_j, j = 1, …, n}), vadinamos baigtiniamačiais proceso X tikimybiniais skirstiniais. Atsitiktiniai procesai klasifikuojami pagal rinkinio tarpusavyje suderintų baigtiniamačių tikimybinių skirstinių F_{t1, …, tn} (A₁, …, A_n), t_j ∈ T, A_j ∈ A, j = 1, …, n, n ≥ 1, turinčių tikimybių prasmę, jog laiko momentais t_j proceso trajektorija patenka į būsenų poaibį A_j, j = 1, …, n, savybes. Atsitiktinių procesų svarbiausiosios klasės: Gausso, Markovo, stacionariųjų ir antrosios eilės procesų. Gausso procesų klasė apibūdinama tuo, kad visi jų baigtiniamačiai tikimybiniai skirstiniai yra Gausso skirstiniai. Jie visiškai aprašomi vidurkio ir koreliacijos funkcijomis. Markovo procesų klasė apibūdinama tuo, jog jų baigtiniamačiai tikimybiniai skirstiniai išreiškiami pradiniu skirstiniu F₀(A) ir perėjimo tikimybių funkcija P(s, x; t, A) : F_{0, t1, …, tn} (A₀, A₁, …, A_n) = $\underset{A_0}{\int }\underset{A_i}{\int }\mathrm{...}\underset{A_n}{\int }$F₀, (dx₀) P(0, x₀; t₁, dx₁)… P(t_n–1, x_n–1; t_n, dx_n), 0 < t₁ < … < t_n, n ≥ 1. Stacionarieji procesai yra tokie atsitiktiniai procesai, kurių baigtiniamačiai tikimybiniai skirstiniai nepriklauso nuo laiko postūmio. Atsitiktiniai procesai vadinami antrosios eilės atsitiktiniais procesais, jei jų būsenų erdvė yra kompleksiniai skaičiai ir jų reikšmių modulio kvadratas kiekvienu laiko momentu turi baigtinį vidurkį. Atsitiktiniai procesai kaip matematiniai modeliai taikomi beveik visose mokslo ir technikos šakose. Atsitiktinių procesų teorija grindžiama A. Kolmogorovo, N. Wienerio, S. Bernšteino, A. Chinčino, P. P. Lévy, W. Fellerio, Josepho Leo Doobo, Kiyosi Itô ir kitų matematikų darbais.

Lietuvoje tiriami Markovo procesai bei jų optimalusis valdymas, praplėsta stochastinė analizė ir stochastinių diferencialinių lygčių teorija, sukonstruotos naujos stacionariųjų procesų klasės ir išnagrinėtos jų ergodinės savybės, tiriamos atsitiktinių procesų aproksimacijos.

678