dalinė išvestinė

dalnė išvestnė, daugelio kintamųjų funkcijos f(x₁, x₂, …, x_n) daline išvestine kintamojo x_j atžvilgiu vadinama tos funkcijos išvestinė, kai tik vienas argumentas x_j laikomas kintamuoju, o kiti – pastoviaisiais dydžiais. Dalinė išvestinė žymima simboliu $\frac{\partial f(x)}{\partial x_j}$, arba $f_{x_j}^{\text{'}}$(x); čia x = (x₁, x₂, …, x_n). Paprastai dalinė išvestinė skaičiuojama pagal vieno kintamojo funkcijos išvestinės taisykles. Pvz., jei $f(x_1,x_2)=x_1^3{x}_2^2+2x_1^2$, tai $\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}=3x_1^2{x}_2^2+4x_1$, $\frac{\partial f(x)}{\partial x_2}=2x_1^3{x}_2$. Dalinė išvestinė $\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$ t. p. gali būti kintamųjų x₁, x₂, …, x_n funkcija, apibrėžta toje pačioje aibėje kaip ir funkcija f(x). Tada funkcijos $\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$ dalinė išvestinė kintamojo x_j atžvilgiu (jeigu ji egzistuoja) vadinama funkcijos f(x) antrąja, arba antrosios eilės daline išvestine, iš pradžių x_i, po to x_j atžvilgiu ir žymima $\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x_j\partial x_i}$, t. y. $\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x_j\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}\right)$. Pvz., jei $f(x_1,x_2)=x_1^3{x}_2^2+2x_1^2$, tai $\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x_1^2}=6x_1{x}_2^2+4$, $\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x_2\partial x_1}=6x_1^2{x}_2$, $\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x_2^2}=2x_1^3$, $\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x_1\partial x_2}=6x_1^2{x}_2$. Apibrėžus antrosios dalinės išvestinės sąvoką galima nuosekliai apibrėžti trečiąją dalinę išvestinę, po to ketvirtąją dalinę išvestinę ir taip toliau. Dalinės išvestinės naudojamos funkcijoms tirti.

62