Fourier eilutė

Fourier eilutė (Furj eilùtė), funkcijos f(x), integruojamos intervale [–π, π] Riemanno arba Lebesgue’o prasme, išraiška trigonometrine eilute $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \mathit{nx}+b_n\sin \mathit{nx})$; čia a₀, a_n, b_n, vadinami Fourier koeficientai, išreiškiami Eulerio ir Fourier formulėmis: $a_n=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\underset{-\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}f(x)\cos \mathit{nx}\mathrm{d}x$, $b_n=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\underset{-\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}f(x)\sin \mathit{nx}\mathrm{d}x$ (n = 0, 1, 2, …). Fourier eilutės dalinės sumos $S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos \mathit{kx}+b_k\sin \mathit{kx})$ yra trigonometriniai daugianariai, o jos suma $S(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n(x)$, jeigu ji egzistuoja, yra funkcija, turinti periodą 2π. Jei funkcija f(x) turi periodą 2π ir yra dalimis diferencijuojama intervale [–π, π], tai jos Fourier eilutę konverguoja kiekviename taške x ir S(x) = $\frac{1}{2}$(f(x + 0) + f(x – 0)); čia f(x + 0) ir f(x – 0) yra atitinkamai funkcijos ribos taške x iš dešinės ir kairės. Tokios funkcijos tolydumo taškuose galioja lygybė S(x) = f(x). Funkcijos f(x), turinčios intervale [–π, π] integruojamą kvadratą (f(x))², Fourier eilutę konverguoja į šią funkciją pagal vidurkį, t. y. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}{(f(x)-S_n(x))}^2\mathrm{d}x=0$, o jos Fourier koeficientai tenkina Parsevalio lygybę: $\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\underset{-\mathrm{\pi }}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}{(f(x))}^2\mathrm{d}x$. Jei dvi intervale [–π, π] tolydžiosios funkcijos turi vienodus Fourier koeficientus, jos yra tapačiai lygios. Fourier eilutė yra skleidinių įvairiose ortogonaliųjų funkcijų sistemose atskiras atvejis. Fourier eilutės naudojamos fizikoje, mechanikoje, technikoje, matematinės fizikos lygtyse (pvz., sprendžiant stygos svyravimo lygtį). Fourier eilučių teorija patikslino funkcijos, integralo sąvokas, skatino aibių teorijos, funkcinės analizės ir realiojo kintamojo funkcijų teorijos raidą.

Fourier eilutė pirmą kartą panaudota L. Eulerio darbuose (1744). Pavadinta J. Fourier, kuris 19 a. pradžioje pritaikė ją matematinėje šilumos sklidimo teorijoje, vardu.