fùnkcinė anãlizė, matematikos šaka; idėjų ir metodų, taikomų matematinėje analizėje, diferencialinių ir integralinių lygčių teorijoje, variaciniame skaičiavime, aibių teorijoje, tiesinėje algebroje ir daugiamatėje geometrijoje, apibendrinimas. Funkcinė analizė leidžia skirtingus dalykus vertinti vienu požiūriu, vienos matematikos šakos metodus pritaikyti kitai ir gauti naujų rezultatų. Funkcinės analizės pagrindinio tyrimo objektai yra erdvė ir atvaizdis. Erdvė suprantama kaip kurių nors elementų, turinčių bendras savybes, visuma. Tarp erdvės elementų apibrėžiama algebrinė operacija ir elementų artumas (įvedama topologija). Jei operacija yra sudėtis ir elementus dar galima dauginti iš skaičiaus, erdvė vadinama tiesine (pvz., n‑matės, n eilės matricų, tolydžiųjų funkcijų, Hilberto, Banacho, apibendrintųjų funkcijų erdvės). Elementų artumą erdvėse dažniausiai nusako metrika, norma (tiesinėse erdvėse) arba elemento aplinkų sistemos, jei metrikos ir normos negalima apibrėžti. Funkcinė analizė tiria įvairias erdvės savybes: pilnumą, kompaktiškumą, bazės egzistavimą, sekų konvergavimo sąlygas. Atvaizdį funkcinėje analizėje įprasta vadinti operatoriumi arba funkcionalu (jei reikšmės yra realieji skaičiai). Funkcionalų teorijos svarbus uždavinys – rasti apibrėžto erdvėje \(\mathscr{C}\) funkcionalo F(x) minimumą poerdvyje D, t. y. ieškoma sąlygų, kurias turi tenkinti erdvė, poerdvis ir funkcionalas, kad egzistuotų vienintelis elementas x0: \(F(x_0) = \min\limits_{x \in D\subset \mathscr{C}}F(x)\). Gauti rezultatai taikomi aproksimavimo, diferencialinių lygčių, optimizavimo teorijoje, variaciniame skaičiavime. Funkcinė analizė t. p. tiria tiesinius funkcionalus, apibrėžtus tiesinėje erdvėje. Jie sudaro tiesinę erdvę, vadinamą jungtine. Pati erdvė ir jos jungtinė erdvė glaudžiai susijusios: iš vienos savybių išplaukia kitõs savybės, todėl žinant jungtinės erdvės savybes galima daug ką sužinoti apie pačią erdvę, ir atvirkščiai. Tiesiniai funkcionalai sudaro tiesinę erdvę, todėl joje galima t. p. apibrėžti tiesinius funkcionalus. Jie sudaro antrąją jungtinę erdvę. Jei \(\mathscr{C}\) yra erdvė, \(\mathscr{C}\)* – jungtinė erdvė, \(\mathscr{C}\)** – antroji jungtinė, tai \(\mathscr{C}\) ⊆ \(\mathscr{C}\)**. Euklido ir Hilberto erdvių atveju \(\mathscr{C}\) = \(\mathscr{C}\)*, t. y. jos sau jungtinės. Svarbus funkcinės analizės skyrius yra operatorių teorija, tirianti tiesinius ir netiesinius operatorius, jų reprezentacijos klausimus, spektrinę analizę. Diferencialinių lygčių teorijoje atsirado naujas požiūris į sprendinį: sprendiniu galima laikyti ne tik diferencijuojamąją, bet ir trūkiąją funkciją. Toks sprendinio traktavimas turi fizikinę prasmę (ne visi fizikiniai procesai vyksta tolydžiai). Trūkiųjų sprendinių, nagrinėjamų kaip funkcionalų tiesinėse erdvėse, teoriją sukūrė 1934–38 S. Sobolevas. Iš jos 1950 L.-M. Schwartzas sukūrė apibendrintųjų funkcijų teoriją, be kurios neįmanoma tirti matematinės fizikos lygčių. Funkcinės analizės idėjomis naudojamasi skaičiavimo matematikoje. Išvestinės pakeitimą skirtumu galima laikyti operatoriaus A, apibrėžto erdvėje \(\mathscr{C}\), aproksimavimu operatoriumi An, apibrėžtu erdvėje \(\mathscr{C}\)n. Sakoma, kad An ir \(\mathscr{C}\)n kuria nors prasme konverguoja atitinkamai į A ir \(\mathscr{C}\). Remiantis funkcine analize buvo apibendrinti iteraciniai, Newtono, variaciniai metodai. Funkcinė analizė naudojama fizikoje, mechanikoje, hidrodinamikoje, matematinėje ekonomikoje. Pvz., banginių funkcijų teorija yra begaliniamačių erdvių teorija, kvantinės mechanikos pagrindinis aparatas yra operatorių spektrinė analizė.
Funkcinės analizės metodų ir teorijų užuomazgos kūrėsi 18 a. B. Taylorui, D. Bernoulli nagrinėjant stygos svyravimų lygtis. 19–20 a. N. H. Abelis, P. G. L. Dirichlet, D. Hilbertas, J. Fourier, J. Liouville’is, J. H. Poincaré, H. L. Lebesgue’as sukaupė faktų, kurių analizė ir matematikos įvairių šakų (aibių teorijos, topologijos) pažanga sudarė sąlygas Frigyesui Rieszui (Vengrija), M. R. Fréchet, S. Banachui, J. von Neumannui 20 a. pirmoje pusėje sukurti vientisą funkcinės analizės teoriją.