geomètrija (gr. geōmetria – žemės matavimas), matematikos šaka, tirianti realaus pasaulio erdvinius santykius ir formas, t. p. kitus santykius ir formas, kurių struktūra panaši į erdvinių. Nagrinėja erdves, kurios gaunamos abstrakcijos būdu iš tikrovės atmetant konkretų turinį ir paliekant tik gryną formą; pagal formą jos pasidaro panašios į realią erdvę. Apibendrinta erdvės sąvoka ir matematinės analizės metodai įgalino geometrijos apibendrinimą. Pvz., žmogaus spalvos pojūtis susideda iš 3 pagrindinių spalvų (raudonos, žalios ir mėlynos) pojūčių. Bet kurią spalvą galima nusakyti tų trijų spalvų intensyvumais x, y, z. Kiekvieną skaičių trejetą x, y, z laikant tašku, o taškų visumą – erdve, galima sukurti spalvų erdvės geometriją. Dvimatės apibendrintosios erdvės pavyzdžiu galima imti dujų, esančių cilindre, būseną, kuri priklauso nuo temperatūros ir stūmoklio slėgio. Tokios erdvės tašku laikoma konkreti dujų būsena, kurią apibūdina temperatūra ir slėgis. Jei materialios sistemos būsena nusakoma n parametrų, tai laikant konkrečią būseną tašku, o sistemos visas būsenas erdve, gaunama n‑matė apibendrintoji erdvė. Bendruoju atveju abstrakčiąja erdve laikoma bet kokios prigimties elementų aibė, jos taškais – atskiri elementai. Elementams nustatomi tam tikri santykiai, kurie yra analogiški įprastos erdvės santykiams (priklausomumas, kongruentumas ir kiti). Kartais erdvė apibrėžiama kaip nevienarūšių elementų sistema. Tokias erdves tiria apibendrintosios geometrijos. Skiriamos dvi geometrijos kryptys. Viena jų – sintetinė, kurioje elementų santykiai nusakomi aksiomomis. Tokia yra seniausioji geometrija – euklidinė geometrija. Atmetus lygiagrečiųjų tiesių aksiomą gaunamų dėsnių visuma sudaro absoliučiąją geometriją. Pakeitus Euklido lygiagrečiųjų tiesių aksiomą (Euklido penktąjį postulatą) Lobačevskio aksioma gaunama Lobačevskio neeuklidinė geometrija, pakeitus ją Riemanno aksioma – Riemanno neeuklidinė geometrija. Matematikos požiūriu euklidinė, Lobačevskio ir Riemanno neeuklidinės geometrijos yra visos teisingos ir vienodai priimtinos. Kita geometrijos kryptis – analizinė, kurioje elementų santykiai reiškiami skaičiais taikant koordinačių metodą. Analizinė geometrija ir algebrinė geometrija naudoja analizinius ir algebrinius metodus, diferencialinė geometrija – diferencialinio skaičiavimo metodus, integralinė geometrija – integralinio skaičiavimo metodus. Erdvinių kūnų vaizdavimą plokštumoje ir tų vaizdų savybes tiria braižomoji geometrija. F. Ch. Kleinas studijoje Erlangeno programa (Erlanger Programm 1872), pritaikęs tolydžiųjų transformacijų grupių teoriją, apibendrino erdvės sąvoką ir suklasifikavo geometrijos šakas. Tos geometrijos vadinamos klasikinėmis Kleino geometrijomis. Darant tolesnius apibendrinimus gaunama afiniosios sieties erdvės geometrija, Finslerio geometrija, Cartano geometrija. Jei bet kurios prigimties elementų aibėje veikia transformacijų grupė, elementas laikomas tašku, o aibė – erdve. Figūrų savybės, kurios nesikeičia turimos grupės bet kurios transformacijos atžvilgiu, vadinamos geometrinėmis, o tų savybių visuma – tos erdvės geometrija grupės atžvilgiu. Trupmeninių tiesinių transformacijų grupės invariantai sudaro projekcinę geometriją, nors ji buvo sukurta ir grynai aksiominiu metodu. Visų tiesinių transformacijų grupės invariantai sudaro afiniąją geometriją, o visų judesių ir panašumo transformacijų grupės invariantai – elementariąją geometriją. Projekcinių transformacijų grupės tam tikrų pogrupių invariantai sudaro Lobačevskio neeuklidinę geometriją ir Riemanno neeuklidinę geometriją. Visų tolydžiųjų transformacijų grupės invariantai sudaro geometrijos šaką – topologiją.
Istorija
Pirmieji geometrijos teiginiai maždaug 2000 pr. Kr. buvo suformuluoti Egipte, Babilonijoje, Indijoje ir Kinijoje grynai empiriniu būdu. Sudėtingesni geometrijos teiginiai būdavo gaunami intuityviai arba negriežtais, primityviais įrodymo metodais. Geometrija, kaip mokslas, susiformavo Graikijoje 7–3 amžiuje prieš Kristų. Graikai naujų teiginių ieškojo dedukcijos metodu, kurį pritaikius visi geometrijos teiginiai gauti logiškai iš nedaugelio akivaizdžių teiginių – aksiomų. Tai susistemino Euklidas veikale Pradmenys. Euklido apibrėžimai ir postulatai gauti intuityviai, todėl visi jo išvesti geometrijos teiginiai yra prieinami žmogaus vaizduotei. Po Euklido Archimedas ir Apolonijas Pergietis griežtais matematiniais įrodymais taip išplėtojo geometriją, kad tolesnė jos raida be naujų metodų atrodė negalima. Per kitus 2000 metų iš esmės beveik nieko nesukurta. Daugiausia buvo kritikuojami Euklido geometrijos pagrindai, domėtasi jo penktuoju postulatu. Abejota, ar iš viso jis reikalingas, mėginta jį įrodyti, bet nesėkmingai. Remdamiesi priešinga Euklido penktajam postulatui aksioma 1826 N. Lobačevskis ir atskirai nuo jo 1832 Jánosas Bolyai (Vengrija) sukūrė Lobačevskio neeuklidinę geometriją. 17 a. pirmoje pusėje R. Descartes’ui sujungus koordinačių metodą su algebra pradėjo plėtotis analizinė geometrija. Tuo pat metu G. Desargues’as ir B. Pascalis sukūrė projekcinės geometrijos ir braižomosios geometrijos pradmenis. 18 a. pabaigoje Gaspardas Monge’as (Prancūzija) susistemino braižomąją geometriją, 19 a. pradžioje J.-V. Poncelet ir Michelis Floréalis Chasles’is (Prancūzija), Jakobas Steineris (Šveicarija) – projekcinę geometriją. 18 a. pradžioje geometrijoje buvo daugiau naudojamasi matematine analize; tai padėjo susiformuoti diferencialinei geometrijai. Svarbiausi šios srities yra J. Bernoulli, L. Eulerio, C. F. Gausso darbai. 19 a. viduryje Hermannas Güntheris Grassmannas (Vokietija) ir A. Cayley išplėtojo n‑matės euklidinės erdvės geometriją. 1854 B. Riemannas pateikė bendrosios erdvės apibrėžimą, išskyrė jos atvejį – Riemanno erdvę ir sukūrė Riemanno neeuklidinę geometriją. Naudojantis tenzorinio skaičiavimo metodais buvo sukurta bendroji Riemanno geometrija. Skirtingų geometrijų buvimas reikalavo griežto geometrijos pagrindimo. Tuomet susiformavo atskira geometrijos šaka – geometrijos aksiomatika. Jos tikslas – pagrįsti geometriją kuo mažesniu aksiomų skaičiumi, iš kurių reikalaujama vidinio loginio neprieštaringumo, nepriklausomumo ir visos sistemos pilnumo. D. Hilbertas veikale Geometrijos pagrindai (Grundlagen der Geometrie 1899) sukūrė pilnąją aksiomų sistemą. 19 a. pabaigoje–20 a. pradžioje susiformavo topologija, algebrinė geometrija. Svarbūs yra M. F. Atiyah, Alexanderio Grothendiecko (Prancūzija), Davido Bryanto Mumfordo (Jungtinės Amerikos Valstijos), J. W. Milnoro, S. Smale’io, S. Novikovo, L. Pontriagino, Jurijaus Manino, Michailo Postnikovo, Piotro Raševskio (visi SSRS), A. Tichonovo darbai.
Lietuvoje
Elementarioji plokštumos ir erdvės geometrija pradėta dėstyti Vilniaus universitete nuo jo įkūrimo. 18 a. antroje pusėje J. Nakcijonavičius, P. Norvaiša taikė analizinės geometrijos metodus. M. Počobutas išvertė į lenkų kalbą A. C. Clairaut Geometrijos pradmenis (Éléments de géométrie 1765). Pirmąjį geometrijos vadovėlį lietuvių kalba Trumpa geometrija (1900) parašė P. Vileišis. 1915 išleistas A. Jakšto išverstas Pavelo Mironovo Geometrijos vadovėlis su vertėjo pridėtu geometrijos terminų sąrašu, vėliau – Antano Graželio, K. Klimavičiaus, Jono Mašioto, P. Mašioto, M. Šikšnio, Juozo Stonkaus vadovėliai ir uždavinynai, Juozo Stonkaus Analizinės geometrijos pagrindai (1925). 1928 pasirodė P. Katiliaus veikalai iš diferencialinės geometrijos, vėliau jo vadovėliai aukštosioms mokykloms: Analizinė geometrija (1940 21956 31973), Diferencialinė geometrija (1961), Geometrijos pagrindai (1966). Tiesių daugdarų geometrijos klausimus (tiesių kompleksų ir hiperkompleksų teoriją, neholonominių ir pusiau holonominių kompleksų teoriją) tyrė K. Grincevičius, Kazimieras Navickis ir kiti. K. Grincevičius su P. Vašku parašė Projektyvinę geometriją (1966), P. Vaškas – Elementariąją geometriją (1994), Netradicinę geometriją (2000), Planimetrija. Stereometrija. Vektoriai (2003). Apibendrintųjų erdvių geometriją ir diferencialinių lygčių geometriją plėtojo V. Bliznikas, R. Vosylius ir kiti. Topologijos veikalų paskelbė Algirdas Matuzevičius, t. p. parašė vadovėlį Topologija (1982).
2608