vertis, imties X = (X1, …, Xn) funkcija, naudojama nežinomiems tikimybinio skirstinio parametrams vertinti. Tarkime, kad tikimybinis skirstinys priklauso šeimai \(\mathscr{P}\) = {Pθθ ∈ Θ ⊂ Rk}, o parametras θ = (θ1, …, θk). Jei parametras g = ψ(θ) yra vektorinė funkcija ψ(θ) = (ψ1(θ), …, ψs(θ)), tai bet kuri mačioji atsitiktinės imties X = (X1, …, Xn) funkcija g n ^ = g n ^ ( X ) hat { g_{n}}`=` hat g_{n} ( bold X ) vadinama parametro g (taškiniu) įverčiu. Dažniausiai ieškomi tokie įverčiai, kurių reikšmės tam tikra prasme artimos tikrajai parametro g reikšmei. Jei g yra vienmatis, tai įverčio g n ^ hat { g_{n}} reikšmių sklaidai apie parametrą g apibūdinti dažniausiai naudojama kvadratinė rizikos funkcija R θ ( g n ^ , g ) R_{ %theta } (hat{ g_{n}},`g) , kuri yra atsitiktinių dydžių ( g n ^ g ) 2 (hat{ g_{n}}`-`g)^{ 2} vidurkis, t. y. R θ ( g n ^ , g ) = E θ ( g n ^ g ) 2 = D θ ( g n ^ ) + ( E θ ( g n ^ ) g ) 2 R_{ %theta } ( hat g_{n},`g )`=` bold nitalic{E}_{ nbold italic{%theta} }(hat{ g_{n}}`-`g)^{ 2}`=`bold nitalic{D}_{ nbold italic{%theta} }( hat g_{n} )`+`( bold nitalic{E}_{ nbold italic{%theta} }( hat g_{n} )`-`g )^{ 2} ; čia D θ ( g n ^ ) `bold nitalic{D}_{ nbold italic{%theta} }( hat g_{n} ) yra įverčio g n ^ = g ^ hat{ g_{n}}`=`hat {g} dispersija. Visų įverčių aibėje dažniausiai neegzistuoja įvertis, minimizuojantis kvadratinę rizikos funkciją su visomis galimomis parametro reikšmėmis, todėl apsiribojama siauresnėmis įverčių klasėmis, t. y. įverčiais, pasižyminčiais tam tikromis savybėmis. Parametro g įvertis g n ^ = g ^ hat{ g_{n}}`=`hat {g} vadinamas nepaslinktuoju, jei su visais θ ∈ Θ įverčio vidurkis lygus parametrui E θ ( g ^ ) = g bold nitalic{E}_{ nbold italic{%theta} }(hat{ g})`=`g . Nepaslinktųjų įverčių klasėje kvadratinė rizikos funkcija lygi to įverčio dispersijai. Parametro g nepaslinktasis įvertis g ^ hat{ g} vadinamas nepaslinktuoju minimalios dispersijos įverčiu, jei su visais θ ∈ Θ dispersija D θ ( g ^ ) `bold nitalic{D}_{ nbold italic{%theta} }( hat g) minimali visų nepaslinktųjų įverčių klasėje. Reguliariųjų skirstinių atveju apatinę nepaslinktųjų įverčių dispersijos ribą (ne visada pasiekiamą) nusako Rao ir Craméro nelygybė. Nepaslinktasis įvertis vadinamas efektyviuoju, jei jo dispersija pasiekia apatinę šios nelygybės ribą. Jis egzistuoja tiktai rodiklinių skirstinių šeimose. Galimos situacijos, kai egzistuoja paslinktieji įverčiai, kurių kvadratinė rizikos funkcija mažesnė už minimalios dispersijos nepaslinktojo įverčio kvadratinę rizikos funkciją, pvz., taip būna vertinant mastelio ar poslinkio parametrą. Tada nagrinėjamos kitos, pvz., ekvivariantinių įverčių klasės. T. p. galimos situacijos, kai nepaslinktieji įverčiai neegzistuoja, pvz., parametrui g = 1/λ, kai λ yra Poissono skirstinio vidurkis. Be nepaslinktumo, kita pageidautina įverčio savybė yra reikšmių vis didesnis koncentravimasis apie tikrąją parametro reikšmę, kai imties didumas neaprėžtai didėja. Parametro g taškinių įverčių seka { g n ^ } lbrace hat g_{n} rbrace vadinama pagrįstąja, jei su visais ε > 0 ir θ ∈ Θ P θ ( | g n ^ g ( θ ) | ε ) 0 P_{ %theta }( lline hat g_{n}`-`g( %theta ) rline`geslant` %varepsilon )`→`0 , kai n → ∞, t. y. kokia bebūtų tikroji parametro g reikšmė, tikimybė įverčiui įgyti reikšmę, nutolusią nuo g daugiau kaip per kiek norima mažą ε, artėja prie nulio. Pvz., įverčių seka g n ^ = 1 / X n ¯ hat g_{n}`=`1/ bar X_{ n} yra pagrįstoji Poissono skirstinio parametrui g = 1/λ; čia X n ¯ bar X_{ n}  – empirinis vidurkis. Dažniausiai pagrįstieji įverčiai yra asimptotiškai normalūs, t. y. atsitiktinis dydis n ( g n ^ g ) sqrt{n} ( hat g_{n}`-`g) artėja pagal pasiskirstymą į normalųjį dėsnį su nuliniu vidurkiu ir dispersija σ2(θ) > 0. Parametro g = g(θ) įverčių seka g n ^ hat g_{n} vadinama asimptotiškai optimalia, jei ribinė dispersija σ2(θ) minimali visų asimptotiškai normalių įverčių klasėje. Pavyzdžiui, Poissono skirstinio atveju g n ^ = 1 / X n ¯ hat g_{n}`=`1/ bar X_{ n} yra asimptotiškai optimalus parametro g = 1/λ įvertis: n ( g n ^ g ) sqrt{n} ( hat g_{n}`-`g) artėja pagal pasiskirstymą į normalųjį dėsnį su nuliniu vidurkiu ir dispersija 1/λ3, kuri minimali asimptotiškai normalių įverčių klasėje. Minimaliosios kvadratinės rizikos, nepaslinktojo, minimaliosios dispersijos, efektyvaus, pagrįstojo, asimptotiškai optimalaus įverčių sąvokos apibendrinamos daugiamačio parametro atvejui. Taškiniai įverčiai ieškomi momentų, mažiausiųjų kvadratų, didžiausiojo tikėtinumo metodais. Esant pakankamai bendroms sąlygoms didžiausiojo tikėtinumo įverčiai yra pagrįsti ir asimptotiškai optimalūs. Svarbūs parametrų intervaliniai įverčiai vadinami pasikliautinaisiais intervalais.

1024

Papildoma informacija
Turinys
Bendra informacija
Straipsnio informacija
Autorius (-iai)
Redaktorius (-iai)
Publikuota
Redaguota
Siūlykite savo nuotrauką