kvadratinė forma

kvadrãtinė fòrma, reiškinys $K(\mathit{Ax})=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{\mathit{ij}}{x}_i{x}_j$, kuriame x_i ir x_j yra nežinomieji, a_ij – koeficientai, sudarantys matricą A = (a_ij). Ši matrica laikoma simetrine (a_ij = a_ji). Simetrinė kvadratinė forma vadinama teigiamai apibrėžta, jei egzistuoja toks teigiamas skaičius k, kad $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{\mathit{ij}}{x}_i{x}_j\ge k\sum _{i=1}^n{x}_i^2$. Kvadratinės formos K(Ax) ir K(Bx) vadinamos ekvivalenčiosiomis, jei egzistuoja neišsigimusi matrica Q, kad B = Q^–1AQ. Dar sakoma, kad tai ta pati kvadratinė forma skirtingose bazėse (koordinačių sistemose). Q yra koordinačių transformacijos matrica. Egzistuoja bazės, vadinamos kanoninėmis, kuriose kvadratinės formos yra kanoninio pavidalo: ${\lambda }_1{x}_1^2+{\lambda }_2{x}_2^2+\mathrm{...}+{\lambda }_n{x}_n^2$; čia λ_i – kanoniniai koeficientai. Kanoninės formos matrica yra įstrižaininė. Ta pati kvadratinė forma gali turėti skirtingus kanoninius pavidalus, bet visose teigiamų, neigiamų ir nulinių kanoninių koeficientų skaičius tas pats (inercijos dėsnis). Tarkime, kad teigiamų koeficientų skaičius yra t, neigiamų – s, tada t + s = r ir λ_i = 0, kai i = r + 1, …, n. Atlikus keitinį $z_i=\sqrt{∣{\lambda }_i∣x_i}$ gaunama normalioji kanoninė forma $z_1^2+\mathrm{...}+z_t^2-z_{t+1}^2-\mathrm{...}-z_r^2$; čia r – kvadratinės formos rangas, t – teigiamas, s – neigiamas inercijos indeksai, t–s – signatūra. Jei normalioji forma gaunama iš K(Ax), tai matricos A rangas lygus r. Teigiamai apibrėžtos formos kanoniniai koeficientai teigiami, o normalioji forma yra kvadratų suma. Kvadratinė forma, prilyginta skaičiui, pvz., K(Ax) = c, apibrėžia paviršių n‑matėje erdvėje. Tai tiesioginis dvimatės erdvės kreivių (elipsės, hiperbolės, parabolės) ar trimatės erdvės paviršių (sferos, elipsoido ir kitų) apibendrinimas. Teigiamai apibrėžta kvadratinė forma K(Ax) = k > 0 apibrėžia elipsoidą arba sferą $\sum _{i=1}^n{x}_i^2=k^2$ n‑matėje erdvėje. Kompleksinėje plokštumoje apibrėžiama Hermite’o kvadratinė forma $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{\mathit{ij}}{x}_i\overline{x_j}$, kurios koeficientai $a_{\mathit{ij}}=\overline{a_{\mathit{ji}}}$. Hermite’o forma reali ir turi visas realiosios kvadratinės formos savybes.