laipsnis

láipsnis, reiškinys a^b, a ir b – realieji arba kompleksiniai skaičiai. Skaičius a vadinamas laipsnio pagrindu, skaičius b – laipsnio rodikliu. Kai laipsnio rodiklis yra natūralusis skaičius n, laipsniai aⁿ ir a^–n apibrėžiami taip: aⁿ = a∙a∙…∙a, . Pirmasis simbolį aⁿ pradėjo vartoti R. Descartes’as (Prancūzija), o neigiamuosius laipsnio rodiklius – I. Newtonas (1676; Didžioji Britanija). Kai laipsnio rodiklis yra racionalusis skaičius $b=\frac{m}{n}$ ir a > 0, tai $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$. Jei laipsnio rodiklis yra iracionalusis skaičius β, a > 0 ir r_n – racionaliųjų skaičių seka, konverguojanti į β, tai laipsnis a^β apibrėžiamas taip: $a^{\beta }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{r_n}$. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijoje nagrinėjami laipsniai zⁿ = z∙z∙…∙z, $\sqrt[n]{z}$ ir z^u = e^uLnz; čia n – natūralusis skaičius, z ir u – kompleksiniai skaičiai. Pagrindinės laipsnių savybės: a^m∙aⁿ = a^m+n, a^m:aⁿ = a^m–n, (aⁿ)^m = a^mn. Jei kompleksinis skaičius $z=x+\mathrm{i}y=\sqrt{x^2+y^2}(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )=r{e}^{\mathrm{i}\phi }$, tai laipsniui zⁿ teisinga Moivre’o formulė: zⁿ = rⁿe^i∙nφ = rⁿ (cos nφ + i sin nφ). Laipsnis a⁰ = 1, o 0⁰ neturi prasmės.

1668