Maxwello lygtys

Maxwello lygtys (Mãksvelo lỹgtys), klasikinį elektromagnetinį lauką vakuume ir parimusioje tolydžiojoje terpėje nusakančių funkcijų integralinės arba diferencialinės lygtys. Grindžiamos artiveikos principu (tariama, kad elektromagnetiniai trikdžiai perduodami baigtiniu greičiu, vakuume – šviesos greičiu). Maxwello lygtis sieja elektromagnetinio lauko stiprio vektorių E, magnetinio srauto tankio vektorių B, laisvojo elektros krūvio tankį ρ ir elektros srovės tankį j, elektros srauto tankį D ir magnetinio lauko stiprio vektorių H. Pirmoji integralinė Maxwello lygtis apibendrina Biot ir Savart’o dėsnį. Ją sudarydamas J. C. Maxwellas postulavo, kad magnetinį lauką kuria ne tik laidininku tekanti elektros srovė, bet ir per laiką kintantis elektros srauto tankio vektorius, t. y. slinkties srovė, kurios tankis $j_{\text{s}}=\frac{\partial D}{\partial t}$. Pirmoji integralinė Maxwello lygtis sieja magnetinio lauko stiprio vektoriaus cirkuliaciją $\underset{L}{\oint }H\cdot \text{d}l$ uždaruoju kontūru L ir laidumo bei slinkties srovės srautą $\underset{S}{\oint }\left[\left(j+\frac{\partial D}{\partial t}\right)\text{d}S\right]$ per paviršių S, kurį riboja kontūras L: $\underset{L}{\oint }H\cdot \text{d}l=\underset{S}{\oint }\left[\left(j+\frac{\partial D}{\partial t}\right)\text{d}S\right]$. Antroji integralinė Maxwello lygtis yra Faraday elektromagnetinės indukcijos dėsnio matematinė išraiška. Ji sieja elektrinio lauko stiprio vektoriaus cirkuliaciją (indukuotąją elektrovarą) ir magnetinio srauto tankio vektoriaus srauto kitimo spartą $\underset{L}{\oint }H\cdot \text{d}l=-\underset{S}{\int }\frac{\partial B}{\partial t}\text{d}S$. Pirmosios 2 lygtys yra Gausso dėsnis elektriniam ir magnetiniam laukui. Trečioji integralinė Maxwello lygtis $\underset{S}{\oint }B\cdot \text{d}S=0$ reiškia, kad gamtoje nėra laisvųjų magnetinių krūvių, t. y. magnetinio lauko šaltinis gali būti tik elektros srovė. Ketvirtoji integralinė Maxwello lygtis (dažniausiai vadinama Gausso dėsniu) apibendrina Coulomb’o dėsnį: elektros srauto tankio vektoriaus srautas per uždarą paviršių S lygus krūviui $q=\underset{V}{\int }\rho \text{d}V$, esančiam paviršiaus S apribotame tūryje V: $\underset{S}{\oint }D\cdot \text{d}S=\underset{V}{\int }\rho \text{d}V$ (galioja ir sistemoms, kuriose laukas kinta per laiką). Visas integralines Maxwello lygtis galima išreikšti ir diferencialiniu pavidalu: $\text{rot}H=j+\frac{\partial D}{\partial t}$, $\mathrm{rot}E=\frac{\partial B}{\partial t}$ div B = 0, div D = ρ. Integralinių ir diferencialinių Maxwello lygčių fizikinė prasmė vienoda. Norint išspręsti Maxwello lygtis jas būtina papildyti vektorių E, D, B, H ir j sąryšiais, nusakančiais terpių elektromagnetines savybes. Jie randami (išskyrus vakuumą, kuriam D = ε₀E, B = μ₀H, j = 0; čia ε₀ – elektrinė, μ₀ – magnetinės konstantos) ne iš Maxwello lygčių, o eksperimentiškai arba statistinės fizikos metodais modeliuojant terpės savybes. Dažniausiai tarpusavyje susiję šie dydžiai – D = D(E), B = B(H), j = j(E). Daugeliui izotropinių terpių šie sąryšiai (elektrodinamikoje vadinami medžiagos būsenos lygtimis) yra tiesiniai, pvz., D = εE, B = µH, j = σE + j^p; čia ε – terpės dielektrinė skvarba, µ – magnetinė skvarba, σ – savitasis laidis, j^p – neelektromagnetinių jėgų sukurtos srovės tankis. Bendruoju atveju ε, µ, σ gali priklausyti nuo koordinačių, laiko, būti tenzoriai ir laukų funkcijos. Žinant būsenos lygtis ar krūvio tankio funkciją ρ, iš Maxwello lygčių galima rasti elektromagnetinio lauko vektorių priklausomybę nuo koordinačių ir laiko. Jei tiriamas elektromagnetinis laukas yra terpėje, susidedančioje iš medžiagų su skirtingais ε, µ, σ, Maxwello lygčių laukus apibūdina vienareikšmiškai tik papildytos elektromagnetinio lauko vektorių kraštinėmis sąlygomis. Svarbiausios išvados, gautos iš Maxwello lygčių: yra ryšys tarp elektrinio ir magnetinio lauko, šviesos bangos yra elektromagnetinės, jų sklidimo greitis baigtinis ir lygus šviesos greičiui vakuume; yra slinkties srovė. Maxwello lygtys naudojamos sprendžiant elektrodinamikos, elektrotechnikos, radiotechnikos uždavinius.

Lygtis 1864 paskelbė J. C. Maxwellas Londono karališkosios draugijos posėdyje.