topològija (gr. topos – vieta + logos – žodis, sąvoka, mokslas), matematikos sritis, tirianti tolydumo idėją. Topologija nagrinėja tokias matematikos objektų savybes (vadinamas topologines savybes arba topologinius invariantus), kurių nekeičia abipus vienareikšmis ir abipus tolydus atvaizdis, vadinamas homeomorfizmu. Intuityviąja prasme geometrinių figūrų savybės yra topologinės, jei jos nekinta maigant, tampant, bet neplėšiant ir neklijuojant. 2 figūros topologiškai nesiskiria, jei viena jų yra homeomorfiška kitai. Rutulys, pilnasis elipsoidas ir bet kuris iškilasis daugiasienis yra topologiškai vienodos figūros; sfera su rankenėle, toras ir puodelio paviršius topologiškai nesiskiria. Topologija tiria ir bendresnes negu geometrines figūras – topologines erdves, daugdaras ir jų sąryšius. Pagrindinė tokių sąryšių savybė yra tolydumas. Topologijos metodai yra bendresni negu funkcijų teorijos metodai ir labiau algebriniai. Norint nusakyti, kokios topologinės erdvės, daugdaros topologiškai skiriasi, naudojami topologiniai invariantai: dimensija (matavimas), kompaktumas, fundamentalioji grupė, homologinė grupė, Eulerio charakteristika ir kiti. Skirtingais metodais nagrinėjant įvairaus tolydumo aspektus susiformavo topologijos šakos: bendroji topologija (pagrįsta aibių teorija ir aksiominiu metodu), algebrinė topologija (remiasi algebros objektais ir metodais), diferencialinė topologija (tiria glodžiąsias daugdaras ir glodžiuosius atvaizdžius). Topologijos metodais ir rezultatais remiasi daugelis matematikos šakų, technika, teorinė fizika, biologija, ekonomika, lingvistika.
Istorija
Dar 18 a. L. Euleris, spręsdamas kai kuriuos uždavinius, įrodė iškiliųjų daugiasienių teoremą, priskiriamą topologijai. 20 a. pradžioje pradėta kurti bendroji topologija: M. R. Frechet apibrėžė metrinę erdvę, Felixas Hausdorffas (Vokietija) – topologinę erdvę, P. Aleksandrovas, K. Kuratowskis suformulavo topologinės erdvės aksiomatiką, H. L. Lebesgue’as, L. E. Brouweris įrodė paprasčiausias tolydžiųjų atvaizdžių teoremas. J. H. Poincaré topologijai pritaikė algebrinius metodus: apibrėžė grandines, ciklus, fundamentaliąsias grupes. 20 a. 3 dešimtmetyje P. Aleksandrovas ir Pavelas Urysonas (SSRS) sukūrė matavimo ir kompaktiškumo teorijų pagrindus. A. Tichonovas įrodė kompaktinių erdvių sandaugos teoremą. Svarbūs Jeanas Leray (Prancūzija), J. F. Adamso, J. H. C. Whiteheado ir kitų algebrinės topologijos darbai. 20 a. 3 dešimtmetyje L. Pontriagino ir H. Whitney darbai apie glodžiųjų daugdarų algebrines ir topologines savybes sudarė diferencialinės topologijos pagrindus.
Lietuvoje
Lietuvoje topologija (daugiausia daugdaros ir jų sąryšiai) nagrinėjama nuo 20 a. 6 dešimtmečio (K. Grincevičius, Algirdas Matuzevičius, V. Bliznikas, R. Vosylius, J. Šinkūnas, R. Kašuba, Algimantas Jonušauskas, Kęstutis Karčiauskas ir kiti).
1751