topològinė erdv, aibė, kurioje elementams apibrėžti ribiniai ryšiai. Topologinė erdvė yra aibė X, kurioje nurodyta tam tikra jos poaibių sistema (topologija) T, kad jos dviejų aibių sankirta, bet kurio skaičiaus jos aibių sąjunga, tuščioji aibė ir visa aibė X priklausytų sistemai T. Sistemos T aibė vadinama atvirąja arba kiekvieno jos elemento aplinka. Pvz., topologinės erdvės X elementas x yra ribinis X poaibio A atžvilgiu, jei kiekvienos x aplinkos sankirta su A yra netuščia. Dažniausiai topologinė erdvė žymima X, bet kartais (pvz., kai vienoje aibėje nurodytos 2 skirtingos topologijos) žymima ir {X, T }. Aibė X, kurioje apibrėžta topologija T, vadinama topologinės erdvės {X, T} bazine erdve, o jos elementai x ∈ X – topologinės erdvės taškais. Pvz., dviejų taškų aibė X = {a, b} su sistema T = {∅, {a}, X} yra topologinė erdvė. Realiųjų skaičių aibės R topologija T, kai bet kurios jos aibės A kiekvienam taškui x galima rasti tokį atvirąjį intervalą I, kad x ∈ I ⊂ A, vadinama natūraliąja, arba euklidine, topologija. Dažniausiai realiųjų skaičių aibė nagrinėjama su šia topologija. Tarp bet kurių 2 topologinių erdvių {X, T1 } ir {Y, T2 } apibrėžtas atvaizdis f: X → Y yra tolydus, kai aibės Y bet kurios atvirosios aibės A pirmavaizdis f–1(A) yra atviras aibėje X. 2 topologinės erdvės yra homeomorfiškos (homeomorfizmas), jei tarp jų yra apibrėžtas abipusiškai vienareikšmis tolydusis atvaizdis, kurio ir atvirkštinis atvaizdis yra tolydus. Vienas pagrindinių topologinės erdvės uždavinių yra rasti savybes, kurias turi visos homeomorfinės erdvės. Tokios savybės gali būti erdvių diskretiškumas, jungumas, kompaktiškumas, metrizuojamumas ir kiti. Pagal tai topologinės erdvės skirstomos į klases. Pvz., kompaktinių erdvių klasę sudaro erdvės, turinčios tokią savybę: iš kiekvieno jos denginio atvirosiomis aibėmis galima išskirti baigtinį podenginį; parakompaktinių erdvių klasę sudaro erdvės, kurių kiekvienas denginys turi lokaliai baigtinį podenginį. Topologinių erdvių metodais ir rezultatais remiasi teorinė fizika, biologija, matematinė ekonomika, lingvistika.
Topologinės erdvės ir tolydžiojo atvaizdžio sąvokas 1914 apibrėžė Felixas Hausdorffas (Vokietija).
2502