ypatingasis taškas

diferencialinių lygčių ypatingieji taškai: a – mazgo taškas, b – balno taškas, c – sūkurio taškas, d – centras

ypatngasis tãškas, taškas, kuriame netenkinama diferencialinės lygties $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$= f(x, y) Cauchy uždavinio vienaties sąlyga. Kai funkcija f(x, y) pakankamai mažoje taško (x₀, y₀) aplinkoje neturi kitų ypatingųjų taškų, taškas (x₀, y₀) vadinamas izoliuotuoju ypatinguoju tašku. Svarbiausias ypatingasis taškas yra neapibrėžtumo $\frac{0}{0}$ taškas, t. y. $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)=\frac{0}{0}$. Pvz., diferencialinė lygtis $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathit{ax}+\mathit{by}}{\mathit{cx}+\mathit{ky}}$, kurioje a, b, c, k – realieji pastovūs skaičiai, tenkinantys sąlygą ak – bc ≠ 0, turi vienintelį izoliuotąjį ypatingąjį tašką: O(0, 0). Tiesine transformacija ξ = αx + βy, η = γx + δy, kurioje α, β, γ, δ – realieji pastovūs skaičiai, tenkinantys sąlygą αδ – βγ ≠ 0, duotoji diferencialinė lygtis $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathit{ax}+\mathit{by}}{\mathit{cx}+\mathit{ky}}$ pakeičiama paprastesne lygtimi $\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}\xi }=\frac{{\lambda }_1\eta }{{\lambda }_2\xi }$, kai charakteristinės lygties $\left|\begin{array}{cc}c-\lambda & k\\ a& b-\lambda \end{array}\right|=0$ šaknys λ₁ ir λ₂ yra skirtingos.

Kai λ₁ ir λ₂ yra to paties ženklo realiosios šaknys, gaunamos tokios diferencialinės lygties integralinės kreivės: η = ξ = 0, (η ≠ 0). Kai ξ → 0, šios integralinės kreivės artėja prie izoliuotojo ypatingojo taško ξ = 0, η = 0. Jos liečia Oξ ašį (pav., a). Izoliuotieji ypatingieji taškai ξ = 0, η = 0 ir x = 0, y = 0 vadinami paprastaisiais mazgais. Kai λ₁ ir λ₂ yra realieji ir priešingų ženklų skaičiai, pažymėjus $-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}=\gamma >0$ gaunama $\eta \cdot {|\xi |}^{\gamma }=C$. Šiuo atveju į izoliuotąjį ypatingąjį tašką ξ = 0, η = 0 įeina tik keturi spinduliai: η = 0 (ξ ≠ 0); ξ = 0 (η ≠ 0) (pav., b). Kai C ≠ 0, integralinės kreivės $\eta \cdot {|\xi |}^{\gamma }=C$ neina per tašką ξ = 0, η = 0 ir su spinduliais bendrų taškų neturi. Tokie izoliuotieji ypatingieji taškai ξ = 0, η = 0 ir x = 0, y = 0 vadinami balno taškais. Kai charakteristinės lygties šaknys λ₁ ir λ₂ yra kompleksinės (λ₁ = p + iq, λ₂ = p – iq), diferencialinė lygtis $\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}\xi }=\frac{{\lambda }_1\eta }{{\lambda }_2\xi }$ yra kompleksinė: $\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}\xi }=\frac{(p+\mathrm{i}q)\eta }{(p-\mathrm{i}q)\xi }$. Šiuo atveju transformacijos ξ = αx + βy, η = γ x + δy koeficientus galima parinkti tokius, kad ji būtų: ξ = αx + βy, $\eta =\bar{\alpha }x+\bar{\beta }y$; čia $\bar{\alpha }$ ir $\bar{\beta }$ – kompleksiniai pastovūs dydžiai, jungtiniai atitinkamai α ir β dydžiams. Tada $\eta =\bar{\xi }$. Įrašius į lygtį $\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}\xi }=\frac{(p+\mathrm{i}q)\eta }{(p-\mathrm{i}q)\xi }$ išraiškas ξ = u + iv, η = u – iv (čia u ir v – realieji kintamieji) gaunama homogeninė lygtis $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}=\frac{\mathit{pv}-\mathit{qu}}{\mathit{pu}+\mathit{qv}}$, kurios bendrasis neišreikštinis sprendinys yra toks: $\sqrt{u^2+v^2}=C{e}^{-\frac{p}{q}\mathit{arctg}\frac{v}{u}}$. Remiantis formulėmis u = ρcosϕ, v = ρsinϕ (čia ρ ir ϕ – polinės koordinatės) gaunama, kad $\rho =C{e}^{-\frac{p}{q}\phi }$. Šios integralinės kreivės plokštumoje (u, v) yra logaritminės spiralės (pav., c). Jos eina per izoliuotąjį ypatingąjį tašką u = 0, v = 0, bet jame neturi apibrėžtos krypties, be galo daug kartų apeina šį tašką ta pačia kryptimi asimptotiškai prie jo artėdamos. Toks pat kokybinis integralinių kreivių vaizdas yra taško x = 0, y = 0 aplinkoje. Toks diferencialinės lygties $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathit{ax}+\mathit{by}}{\mathit{cx}+\mathit{ky}}$ izoliuotasis ypatingasis taškas x = 0, y = 0 vadinamas židiniu arba sūkurio tašku. Kai λ₁ ir λ₂ yra grynai menamos (λ₁ = iq, λ₂ = –iq), gaunama diferencialinė lygtis $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}=-\frac{u}{v}$, kurios integralinės kreivės yra koncentriniai apskritimai u² + v² = C² (pav., d). Jų centras yra izoliuotasis ypatingasis taškas u = 0, v = 0. Šiuo atveju lygties $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathit{ax}+\mathit{by}}{\mathit{cx}+\mathit{ky}}$ integralinės kreivės yra elipsės, kurių centras yra taške x = 0, y = 0. Toks ypatingasis taškas vadinamas centru arba verpeto tašku.

Diferencialinių lygčių ypatinguosius taškus tyrė J. H. Poincaré, A. Liapunovas, O. Perronas.

L: P. Golokvosčius Diferencialinės lygtys Vilnius 2000.

-mazgas, paprastasis mazgas